Math / Geometry

QuestionRichiesta 3 (5 punti) Dimostrare la seguente formula per calcolare l'area di un rombo: $A=l^{2} \sin (\alpha)$ dove $l$ è la misura di un suo lato e $\alpha$ è l'ampiezza di un suo angolo interno. Suggerimento: utilizzare la seguente formula di duplicazione: $\sin (2 \cdot \theta)=2 \cdot \sin (\theta) \cdot \cos (\theta)$

Studdy Solution

STEP 1

Cosa ci chiede questo problema? Dobbiamo dimostrare che l'area di un rombo può essere calcolata usando la lunghezza del suo lato e il seno di uno dei suoi angoli. Attenzione! Non confondere la formula dell'area del rombo con quella del parallelogramma!
Ricorda che nel rombo tutti i lati hanno la stessa lunghezza!

STEP 2

1. Dividere il rombo in triangoli
2. Calcolare l'area di un triangolo
3. Calcolare l'area del rombo
4. Ottimizzare la formula

STEP 3

Immagina di tagliare il rombo lungo una delle sue diagonali.
Cosa otteniamo?
Due triangoli identici!
Questo ci aiuterà a semplificare il calcolo dell'area.

STEP 4

Ricordiamo la formula per l'area di un triangolo: $\frac{1}{2} \cdot \text{base} \cdot \text{altezza}$ .
Nel nostro caso, la base è la lunghezza $l$ del lato del rombo.

STEP 5

Per trovare l'altezza, usiamo un po' di trigonometria!
L'altezza è il lato opposto all'angolo $\alpha$ in un triangolo rettangolo.
Quindi, l'altezza è uguale a $l \cdot \sin(\alpha)$ .

STEP 6

Ora, sostituiamo questi valori nella formula dell'area del triangolo: $\frac{1}{2} \cdot l \cdot l \cdot \sin(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot l^2 \cdot \sin(\alpha)$ .

STEP 7

Dato che il rombo è formato da due triangoli identici, l'area del rombo è semplicemente il doppio dell'area di un triangolo.

STEP 8

Moltiplichiamo l'area del triangolo per 2: $2 \cdot \frac{1}{2} \cdot l^2 \cdot \sin(\alpha) = l^2 \cdot \sin(\alpha)$ .

STEP 9

Possiamo riscrivere $\alpha$ come $2 \cdot \frac{\alpha}{2}$ .

STEP 10

Usando la formula di duplicazione del seno, $\sin(2 \cdot \theta) = 2 \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta)$ , possiamo sostituire $\sin(\alpha)$ con $2 \cdot \sin(\frac{\alpha}{2}) \cdot \cos(\frac{\alpha}{2})$ .

STEP 11

Quindi, l'area del rombo diventa $l^2 \cdot 2 \cdot \sin(\frac{\alpha}{2}) \cdot \cos(\frac{\alpha}{2})$ .
Questa formula è utile se conosciamo il seno e il coseno di $\frac{\alpha}{2}$ .
Ma la formula più semplice che abbiamo trovato prima, $A = l^2 \cdot \sin(\alpha)$ , è già perfetta!

STEP 12

Abbiamo dimostrato che l'area di un rombo è data dalla formula $A = l^2 \cdot \sin(\alpha)$ , dove $l$ è la lunghezza del lato e $\alpha$ è l'ampiezza di un angolo interno.

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1. Dividere il rombo in triangoli
2. Calcolare l'area di un triangolo
3. Calcolare l'area del rombo
4. Ottimizzare la formula

STEP 3

Immagina di tagliare il rombo lungo una delle sue diagonali.
Cosa otteniamo?
Due triangoli identici!
Questo ci aiuterà a semplificare il calcolo dell'area.

STEP 4

Ricordiamo la formula per l'area di un triangolo: $\frac{1}{2} \cdot \text{base} \cdot \text{altezza}$ .
Nel nostro caso, la base è la lunghezza $l$ del lato del rombo.

STEP 5

Per trovare l'altezza, usiamo un po' di trigonometria!
L'altezza è il lato opposto all'angolo $\alpha$ in un triangolo rettangolo.
Quindi, l'altezza è uguale a $l \cdot \sin(\alpha)$ .

STEP 6

Ora, sostituiamo questi valori nella formula dell'area del triangolo: $\frac{1}{2} \cdot l \cdot l \cdot \sin(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot l^2 \cdot \sin(\alpha)$ .

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Dato che il rombo è formato da due triangoli identici, l'area del rombo è semplicemente il doppio dell'area di un triangolo.

STEP 8

Moltiplichiamo l'area del triangolo per 2: $2 \cdot \frac{1}{2} \cdot l^2 \cdot \sin(\alpha) = l^2 \cdot \sin(\alpha)$ .

STEP 9

Possiamo riscrivere $\alpha$ come $2 \cdot \frac{\alpha}{2}$ .

STEP 10

Usando la formula di duplicazione del seno, $\sin(2 \cdot \theta) = 2 \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta)$ , possiamo sostituire $\sin(\alpha)$ con $2 \cdot \sin(\frac{\alpha}{2}) \cdot \cos(\frac{\alpha}{2})$ .

STEP 11

Quindi, l'area del rombo diventa $l^2 \cdot 2 \cdot \sin(\frac{\alpha}{2}) \cdot \cos(\frac{\alpha}{2})$ .
Questa formula è utile se conosciamo il seno e il coseno di $\frac{\alpha}{2}$ .
Ma la formula più semplice che abbiamo trovato prima, $A = l^2 \cdot \sin(\alpha)$ , è già perfetta!

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1. Dividere il rombo in triangoli2. Calcolare l'area di un triangolo3. Calcolare l'area del rombo4. Ottimizzare la formula

STEP 3

Immagina di **tagliare** il rombo lungo una delle sue diagonali.Cosa otteniamo?Due triangoli identici!Questo ci aiuterà a semplificare il calcolo dell'area.

STEP 4

Ricordiamo la formula per l'area di un triangolo: 12⋅base⋅altezza\frac{1}{2} \cdot \text{base} \cdot \text{altezza}21​⋅base⋅altezza.Nel nostro caso, la **base** è la lunghezza lll del lato del rombo.

STEP 5

Per trovare l'**altezza**, usiamo un po' di trigonometria!L'altezza è il lato opposto all'angolo α\alphaα in un triangolo rettangolo.Quindi, l'altezza è uguale a l⋅sin⁡(α)l \cdot \sin(\alpha)l⋅sin(α).

STEP 6

Ora, **sostituiamo** questi valori nella formula dell'area del triangolo: 12⋅l⋅l⋅sin⁡(α)=12⋅l2⋅sin⁡(α)\frac{1}{2} \cdot l \cdot l \cdot \sin(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot l^2 \cdot \sin(\alpha)21​⋅l⋅l⋅sin(α)=21​⋅l2⋅sin(α).

STEP 7

Dato che il rombo è formato da **due** triangoli identici, l'area del rombo è semplicemente il doppio dell'area di un triangolo.

STEP 8

**Moltiplichiamo** l'area del triangolo per 2: 2⋅12⋅l2⋅sin⁡(α)=l2⋅sin⁡(α)2 \cdot \frac{1}{2} \cdot l^2 \cdot \sin(\alpha) = l^2 \cdot \sin(\alpha)2⋅21​⋅l2⋅sin(α)=l2⋅sin(α).

STEP 9

Possiamo **riscrivere** α\alphaα come 2⋅α22 \cdot \frac{\alpha}{2}2⋅2α​.

STEP 10

STEP 11

STEP 12

Abbiamo dimostrato che l'area di un rombo è data dalla formula A=l2⋅sin⁡(α)A = l^2 \cdot \sin(\alpha)A=l2⋅sin(α), dove lll è la lunghezza del lato e α\alphaα è l'ampiezza di un angolo interno.

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2. Calcolare l'area di un triangolo
3. Calcolare l'area del rombo
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Cosa otteniamo?
Due triangoli identici!
Questo ci aiuterà a semplificare il calcolo dell'area.

Ricordiamo la formula per l'area di un triangolo: $\frac{1}{2} \cdot \text{base} \cdot \text{altezza}$ .
Nel nostro caso, la base è la lunghezza $l$ del lato del rombo.

Per trovare l'altezza, usiamo un po' di trigonometria!
L'altezza è il lato opposto all'angolo $\alpha$ in un triangolo rettangolo.
Quindi, l'altezza è uguale a $l \cdot \sin(\alpha)$ .

Ora, sostituiamo questi valori nella formula dell'area del triangolo: $\frac{1}{2} \cdot l \cdot l \cdot \sin(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot l^2 \cdot \sin(\alpha)$ .

Dato che il rombo è formato da due triangoli identici, l'area del rombo è semplicemente il doppio dell'area di un triangolo.

Moltiplichiamo l'area del triangolo per 2: $2 \cdot \frac{1}{2} \cdot l^2 \cdot \sin(\alpha) = l^2 \cdot \sin(\alpha)$ .

Possiamo riscrivere $\alpha$ come $2 \cdot \frac{\alpha}{2}$ .

Abbiamo dimostrato che l'area di un rombo è data dalla formula $A = l^2 \cdot \sin(\alpha)$ , dove $l$ è la lunghezza del lato e $\alpha$ è l'ampiezza di un angolo interno.