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Questionrcice 2 : Dans cet exercice toutes les récurrences devront être faites sans considérer qu'elles sont évidentes ; Soit (un)n≥0\left(u_{n}\right)_{n \geq 0} la suite de nombres réels définie par u0∈]1,2]\left.\left.u_{0} \in\right] 1,2\right] et par la relation de récurrence un+1=(un)24+34u_{n+1}=\frac{\left(u_{n}\right)^{2}}{4}+\frac{3}{4} Exercice 5: Soit (un)n\left(u_{n}\right)_{n}
1. Montrer que: ∀n∈N,un>1\forall n \in \mathbb{N}, u_{n}>1.
2. Montrer que: ∀n∈N,un≤2\forall n \in \mathbb{N}, u_{n} \leq 2.
3. Montrer que la suite est monotone. En déduire que la suite est convergente.
4. Déterminer la limite de la suite (un)n≥0\left(u_{n}\right)_{n \geq 0}.
Exercice 3 : Soient u0,au_{0}, a et bb trois réels. On considère la suite (un)n≥0\left(u_{n}\right)_{n \geq 0} de nombres réels définie par u0u_{0} et la relation de récurrence: un+1=aun+bun\begin{array}{l} u_{n+1}=a u_{n}+b \\ u_{n} \end{array}
1. Comment appelle-t-on la suite (un)n≥0\left(u_{n}\right)_{n \geq 0} lorsque a=1a=1 ? Lorsque que b=0b=0 et a≠1a \neq 1 ?
2. Exprimer unu_{n} dans les deux cas particulier de la question 1 .
3. Dans le cas général, calculer u1,u2u_{1}, u_{2} et u3u_{3} en fonction de u0,au_{0}, a et bb.
4. Démontrer par récurrence que le terme général de la suite est donné par: un=anu0+b∑k=1nan−k,n∈N∗u_{n}=a^{n} u_{0}+b \sum_{k=1}^{n} a^{n-k}, n \in \mathbb{N}^{*}

Studdy Solution

STEP 1

1. La suite (un)n≥0(u_n)_{n \geq 0} est définie par une relation de récurrence.
2. Nous devons démontrer des propriétés de cette suite, telles que des bornes, la monotonie, et la convergence.
3. Pour l'exercice 3, nous devons exprimer le terme général de la suite en fonction de u0u_0, aa, et bb.

STEP 2

1. Démontrer que ∀n∈N,un>1\forall n \in \mathbb{N}, u_{n}>1.
2. Démontrer que ∀n∈N,un≤2\forall n \in \mathbb{N}, u_{n} \leq 2.
3. Démontrer la monotonie de la suite et en déduire la convergence.
4. Déterminer la limite de la suite (un)n≥0(u_n)_{n \geq 0}.
5. Exprimer unu_n pour les cas particuliers de l'exercice 3.
6. Calculer u1u_1, u2u_2, et u3u_3 en fonction de u0u_0, aa, et bb.
7. Démontrer par récurrence l'expression du terme général de la suite.

STEP 3

Montrons que ∀n∈N,un>1\forall n \in \mathbb{N}, u_{n}>1.
Initialisation : Pour n=0n = 0, u0∈]1,2]u_0 \in ]1, 2], donc u0>1u_0 > 1.
Hérédité : Supposons que un>1u_n > 1. Montrons que un+1>1u_{n+1} > 1.
un+1=(un)24+34 u_{n+1} = \frac{(u_n)^2}{4} + \frac{3}{4}
Comme un>1u_n > 1, alors (un)2>1(u_n)^2 > 1, donc (un)24>14\frac{(u_n)^2}{4} > \frac{1}{4}.
Ainsi,
un+1=(un)24+34>14+34=1 u_{n+1} = \frac{(u_n)^2}{4} + \frac{3}{4} > \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1
Donc, par récurrence, ∀n∈N,un>1\forall n \in \mathbb{N}, u_n > 1.

STEP 4

Montrons que ∀n∈N,un≤2\forall n \in \mathbb{N}, u_{n} \leq 2.
Initialisation : Pour n=0n = 0, u0∈]1,2]u_0 \in ]1, 2], donc u0≤2u_0 \leq 2.
Hérédité : Supposons que un≤2u_n \leq 2. Montrons que un+1≤2u_{n+1} \leq 2.
un+1=(un)24+34 u_{n+1} = \frac{(u_n)^2}{4} + \frac{3}{4}
Comme un≤2u_n \leq 2, alors (un)2≤4(u_n)^2 \leq 4, donc (un)24≤1\frac{(u_n)^2}{4} \leq 1.
Ainsi,
un+1=(un)24+34≤1+34=2 u_{n+1} = \frac{(u_n)^2}{4} + \frac{3}{4} \leq 1 + \frac{3}{4} = 2
Donc, par récurrence, ∀n∈N,un≤2\forall n \in \mathbb{N}, u_n \leq 2.

STEP 5

Montrons que la suite est monotone.
Calculons la différence :
un+1−un=(un)24+34−un u_{n+1} - u_n = \frac{(u_n)^2}{4} + \frac{3}{4} - u_n
=(un)2−4un+34 = \frac{(u_n)^2 - 4u_n + 3}{4}
=(un−1)(un−3)4 = \frac{(u_n - 1)(u_n - 3)}{4}
Comme 1<un≤21 < u_n \leq 2, alors (un−1)>0(u_n - 1) > 0 et (un−3)<0(u_n - 3) < 0.
Donc, (un−1)(un−3)<0(u_n - 1)(u_n - 3) < 0, ce qui implique que un+1−un<0u_{n+1} - u_n < 0.
La suite est donc décroissante.

STEP 6

En déduire que la suite est convergente.
La suite (un)(u_n) est bornée (entre 1 et 2) et décroissante, donc elle est convergente par le théorème de la convergence des suites monotones.

STEP 7

Déterminons la limite de la suite (un)n≥0(u_n)_{n \geq 0}.
Soit ll la limite de la suite. Alors, en passant à la limite dans la relation de récurrence :
l=l24+34 l = \frac{l^2}{4} + \frac{3}{4}
4l=l2+3 4l = l^2 + 3
l2−4l+3=0 l^2 - 4l + 3 = 0
Résolvons cette équation quadratique :
(l−1)(l−3)=0 (l - 1)(l - 3) = 0
Donc l=1l = 1 ou l=3l = 3.
Comme 1<un≤21 < u_n \leq 2, la seule solution possible est l=1l = 1.
La limite de la suite est donc 11.

STEP 8

Exprimons unu_n pour les cas particuliers de l'exercice 3.
Cas 1 : a=1a = 1
La suite est arithmétique de raison bb.
un=u0+nb u_n = u_0 + nb
Cas 2 : b=0b = 0 et a≠1a \neq 1
La suite est géométrique de raison aa.
un=u0⋅an u_n = u_0 \cdot a^n

STEP 9

Calculons u1u_1, u2u_2, et u3u_3 en fonction de u0u_0, aa, et bb.
u1=au0+b u_1 = a u_0 + b
u2=au1+b=a(au0+b)+b=a2u0+ab+b u_2 = a u_1 + b = a(a u_0 + b) + b = a^2 u_0 + ab + b
u3=au2+b=a(a2u0+ab+b)+b=a3u0+a2b+ab+b u_3 = a u_2 + b = a(a^2 u_0 + ab + b) + b = a^3 u_0 + a^2b + ab + b

STEP 10

Démontrons par récurrence l'expression du terme général de la suite.
Initialisation : Pour n=1n = 1,
u1=a1u0+b∑k=11a1−k=au0+b u_1 = a^1 u_0 + b \sum_{k=1}^{1} a^{1-k} = a u_0 + b
Hérédité : Supposons que pour un certain nn,
un=anu0+b∑k=1nan−k u_n = a^n u_0 + b \sum_{k=1}^{n} a^{n-k}
Montrons que cela est vrai pour n+1n+1.
un+1=aun+b u_{n+1} = a u_n + b
=a(anu0+b∑k=1nan−k)+b = a(a^n u_0 + b \sum_{k=1}^{n} a^{n-k}) + b
=an+1u0+b∑k=1nan+1−k+b = a^{n+1} u_0 + b \sum_{k=1}^{n} a^{n+1-k} + b
=an+1u0+b∑k=1n+1an+1−k = a^{n+1} u_0 + b \sum_{k=1}^{n+1} a^{n+1-k}
Donc, par récurrence,
un=anu0+b∑k=1nan−k, n∈N∗ u_n = a^n u_0 + b \sum_{k=1}^{n} a^{n-k}, \, n \in \mathbb{N}^*

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