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Math  /  Calculus

QuestionQuestion 5 (15 points) a. On pose le probleme d'optimisation suivant: min⁡x,yx2+y2 t.q. x+py=1,p≠0\min _{x, y} x^{2}+y^{2} \text { t.q. } x+p y=1, \quad p \neq 0
Formez le Lagrangien et trouvez le point stationnaire. Est-ce que les conditions du second ordre sont satisfaites? Calculez le minimum m∗m^{*} atteint.

Studdy Solution

STEP 1

1. Nous avons un problème d'optimisation avec une contrainte d'égalité.
2. Nous utiliserons la méthode des multiplicateurs de Lagrange pour résoudre ce problème.
3. Nous vérifierons les conditions du second ordre pour confirmer que le point stationnaire est un minimum.

STEP 2

1. Former le Lagrangien.
2. Trouver le point stationnaire en résolvant les équations dérivées du Lagrangien.
3. Vérifier les conditions du second ordre.
4. Calculer le minimum m∗ m^* .

STEP 3

Former le Lagrangien en introduisant un multiplicateur de Lagrange λ\lambda pour la contrainte x+py=1x + py = 1:
L(x,y,λ)=x2+y2+λ(x+py−1) \mathcal{L}(x, y, \lambda) = x^2 + y^2 + \lambda(x + py - 1)

STEP 4

Trouver le point stationnaire en calculant les dérivées partielles du Lagrangien par rapport à xx, yy, et λ\lambda, puis en les égalant à zéro:
1. Dérivée par rapport à xx: ∂L∂x=2x+λ=0 \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 2x + \lambda = 0
2. Dérivée par rapport à yy: ∂L∂y=2y+λp=0 \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 2y + \lambda p = 0
3. Dérivée par rapport à λ\lambda: ∂L∂λ=x+py−1=0 \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = x + py - 1 = 0
Résoudre ce système d'équations pour xx, yy, et λ\lambda.

STEP 5

Résoudre le système d'équations:
1. De ∂L∂x=0\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 0, nous avons: λ=−2x \lambda = -2x
2. De ∂L∂y=0\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 0, nous avons: λ=−2yp \lambda = -\frac{2y}{p}
Égaler les deux expressions de λ\lambda: −2x=−2yp -2x = -\frac{2y}{p} 2x=2yp 2x = \frac{2y}{p} x=yp x = \frac{y}{p}
3. Substituer x=ypx = \frac{y}{p} dans la contrainte: yp+py=1 \frac{y}{p} + py = 1 y+p2yp=1 \frac{y + p^2y}{p} = 1 y(1+p2)=p y(1 + p^2) = p y=p1+p2 y = \frac{p}{1 + p^2}
4. Substituer yy dans x=ypx = \frac{y}{p}: x=p1+p2p x = \frac{\frac{p}{1 + p^2}}{p} x=11+p2 x = \frac{1}{1 + p^2}

STEP 6

Vérifier les conditions du second ordre pour confirmer que c'est un minimum:
La matrice Hessienne des dérivées secondes du Lagrangien par rapport à xx et yy est:
H=[2002]H = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}
Cette matrice est positive définie car ses valeurs propres sont positives (22 et 22). Donc, les conditions du second ordre sont satisfaites.

STEP 7

Calculer le minimum m∗m^* atteint en substituant xx et yy dans la fonction objectif:
m∗=x2+y2=(11+p2)2+(p1+p2)2 m^* = x^2 + y^2 = \left(\frac{1}{1 + p^2}\right)^2 + \left(\frac{p}{1 + p^2}\right)^2
m∗=1(1+p2)2+p2(1+p2)2 m^* = \frac{1}{(1 + p^2)^2} + \frac{p^2}{(1 + p^2)^2}
m∗=1+p2(1+p2)2 m^* = \frac{1 + p^2}{(1 + p^2)^2}
m∗=11+p2 m^* = \frac{1}{1 + p^2}
La valeur minimale atteinte est:
m∗=11+p2 m^* = \frac{1}{1 + p^2}

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