Math  /  Algebra

QuestionQ6 consider the vectors (5) x(1)(t)=[t1],x(2)=[t22t]x^{(1)}(t)=\left[\begin{array}{l} t \\ 1 \end{array}\right], x^{(2)}=\left[\begin{array}{c} t^{2} \\ 2 t \end{array}\right] (1) find w(x(1),x(2))w\left(x^{(1)}, x^{(2)}\right) (2) In what intervals are x(1),x(2)x^{(1)}, x^{(2)} linealy inelep? (3) what eonatitions conclutions can be drawn about the coefficients in the systeme of homogenons DE's statisfied by x(1)x(2)x^{(1)} x^{(2)}

Studdy Solution

STEP 1

STEP 2

لحساب المحدد w(x(1),x(2)) w(x^{(1)}, x^{(2)}) ، نستخدم صيغة المحدد لمصفوفة 2×2 2 \times 2 :
w(x(1),x(2))=tt212t w(x^{(1)}, x^{(2)}) = \begin{vmatrix} t & t^2 \\ 1 & 2t \end{vmatrix}

STEP 3

نحسب المحدد باستخدام الصيغة:
w(x(1),x(2))=t(2t)(t2)(1)=2t2t2=t2 w(x^{(1)}, x^{(2)}) = t(2t) - (t^2)(1) = 2t^2 - t^2 = t^2

STEP 4

المتجهات x(1),x(2) x^{(1)}, x^{(2)} تكون خطية مستقلة عندما يكون المحدد w(x(1),x(2))0 w(x^{(1)}, x^{(2)}) \neq 0 .
t20 t^2 \neq 0
هذا يعني أن t0 t \neq 0 .

STEP 5

بما أن المتجهات خطية مستقلة عندما t0 t \neq 0 ، فإن النظام المتجانس من المعادلات التفاضلية سيكون له حلول غير تافهة في هذه الفترات. إذا كان t=0 t = 0 ، فإن المتجهات تصبح خطية تابعة، مما يعني أن الحلول ستكون تافهة.
الحل هو أن المتجهات خطية مستقلة في الفترات t0 t \neq 0 ، والمحدد w(x(1),x(2))=t2 w(x^{(1)}, x^{(2)}) = t^2 .

Was this helpful?

Studdy solves anything!

banner

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

ParentsInfluencer programContactPolicyTerms
TwitterInstagramFacebookTikTokDiscord