Studdy AI Logo
Math  /  Calculus

QuestionQ4) For the equation t2y′′−2y′+(3+t)y=0t^{2} y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+(3+t) y=0 If W(y1,y2)(2)=3W\left(y_{1}, y_{2}\right)(2)=3 find W(y1,y2)(4)W\left(y_{1}, y_{2}\right)(4)

Studdy Solution

STEP 1

ما هو المطلوب؟ أوجد قيمة دالة رونسكيان لحلين لمعادلة تفاضلية عند t=4\text{t=4} مع العلم بقيمتها عند t=2\text{t=2}. انتبه! لا تنسَ أن معادلة رونسكيان تتطلب معامل yy ليكون بصيغة p(t)y′p(t)y'.
لذا، يجب عليك أولاً إعادة كتابة المعادلة بالشكل القياسي.

STEP 2

1. كتابة المعادلة بالشكل القياسي.
2. إيجاد p(t)p(t).
3. تطبيق صيغة أبيل.
4. حساب النتيجة.

STEP 3

لكتابة المعادلة بالشكل القياسي y′′+p(t)y′+q(t)y=0y'' + p(t)y' + q(t)y = 0, علينا قسمة المعادلة الأصلية، t2y′′−2y′+(3+t)y=0t^{2} y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+(3+t) y=0, على t2t^2.
وهذا يعطينا: y′′−2t2y′+3+tt2y=0y^{\prime \prime} - \frac{2}{t^2}y^{\prime} + \frac{3+t}{t^2}y = 0

STEP 4

في المعادلة القياسية، p(t)p(t) هو المعامل المضروب في y′y'.
في حالتنا هذه، p(t)=−2t2p(t) = -\frac{2}{t^2}.

STEP 5

تنص صيغة أبيل على أن: W(y1,y2)(t)=c⋅exp⁡(−∫p(t) dt)W(y_1, y_2)(t) = c \cdot \exp\left(-\int p(t) \, dt\right) حيث cc ثابت.

STEP 6

بالتعويض عن p(t)p(t) نحصل على: W(y1,y2)(t)=c⋅exp⁡(−∫−2t2 dt)W(y_1, y_2)(t) = c \cdot \exp\left(-\int -\frac{2}{t^2} \, dt\right)

STEP 7

W(y1,y2)(t)=c⋅exp⁡(∫2t2 dt)=c⋅exp⁡(−2t)W(y_1, y_2)(t) = c \cdot \exp\left(\int \frac{2}{t^2} \, dt\right) = c \cdot \exp\left(-\frac{2}{t}\right)

STEP 8

نعلم أن W(y1,y2)(2)=3W(y_1, y_2)(2) = 3.
بالتعويض عن t=2t=2 نحصل على: 3=c⋅exp⁡(−22)=c⋅exp⁡(−1)3 = c \cdot \exp\left(-\frac{2}{2}\right) = c \cdot \exp(-1) إذن، c=3ec = 3e.

STEP 9

بالتعويض عن قيمة cc في صيغة أبيل، نحصل على: W(y1,y2)(t)=3e⋅exp⁡(−2t)W(y_1, y_2)(t) = 3e \cdot \exp\left(-\frac{2}{t}\right)

STEP 10

المطلوب هو إيجاد W(y1,y2)(4)W(y_1, y_2)(4).
بالتعويض عن t=4t=4 في المعادلة التي حصلنا عليها، نحصل على: W(y1,y2)(4)=3e⋅exp⁡(−24)=3e⋅exp⁡(−12)=3eW(y_1, y_2)(4) = 3e \cdot \exp\left(-\frac{2}{4}\right) = 3e \cdot \exp\left(-\frac{1}{2}\right) = 3\sqrt{e}

STEP 11

W(y1,y2)(4)=3eW(y_1, y_2)(4) = 3\sqrt{e}.

Was this helpful?

Studdy solves anything!

banner

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

ParentsInfluencer programContactPolicyTerms
TwitterInstagramFacebookTikTokDiscord