Math / Calculus

QuestionQ(3) The particular solution of the ODE $3 x(x y-2) d x+\left(x^{3}+2 y\right) d y=0, y(0)=2$ , is: (a) $x^{3} y+3 x^{2}+y^{2}=2$ b) $x^{3} y-3 x^{2}+y^{2}=2$ c) $x^{3} y-3 x^{2}+y^{2}=4$ (d) $x^{3} y-3 x^{2}-y^{2}=4$

Studdy Solution

STEP 1

الافتراضات
1. المعادلة التفاضلية المعطاة هي: $3x(xy-2)dx + (x^3 + 2y)dy = 0$ .
2. الشرط الابتدائي هو: $y(0) = 2$ .
3. نبحث عن الحل الخاص للمعادلة التفاضلية المعطاة.

STEP 2

نبدأ بتحليل المعادلة التفاضلية المعطاة. يمكننا إعادة كتابتها على الشكل التالي:
$3x^2y \, dx - 6x \, dx + x^3 \, dy + 2y \, dy = 0$

STEP 3

نلاحظ أن المعادلة التفاضلية هي من النوع الدقيق إذا كانت:
$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$
حيث $M = 3x^2y - 6x$ و $N = x^3 + 2y$ .

STEP 4

نحسب المشتقة الجزئية لـ $M$ بالنسبة لـ $y$ :
$\frac{\partial M}{\partial y} = 3x^2$

STEP 5

نحسب المشتقة الجزئية لـ $N$ بالنسبة لـ $x$ :
$\frac{\partial N}{\partial x} = 3x^2$

STEP 6

نلاحظ أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ ، مما يعني أن المعادلة التفاضلية دقيقة.

STEP 7

بما أن المعادلة دقيقة، يمكننا إيجاد دالة الإمكان $\psi(x, y)$ بحيث:
$\frac{\partial \psi}{\partial x} = M$ $\frac{\partial \psi}{\partial y} = N$

STEP 8

نبدأ بإيجاد $\psi(x, y)$ من خلال التكامل بالنسبة لـ $x$ :
$\psi(x, y) = \int (3x^2y - 6x) \, dx = x^3y - 3x^2 + g(y)$
حيث $g(y)$ دالة في $y$ فقط.

STEP 9

نحسب المشتقة الجزئية لـ $\psi$ بالنسبة لـ $y$ ونجعلها تساوي $N$ :
$\frac{\partial \psi}{\partial y} = x^3 + g'(y) = x^3 + 2y$

STEP 10

نحل المعادلة لإيجاد $g'(y)$ :
$g'(y) = 2y$

STEP 11

نقوم بتكامل $g'(y)$ بالنسبة لـ $y$ لإيجاد $g(y)$ :
$g(y) = \int 2y \, dy = y^2 + C$

STEP 12

نعود إلى التعبير عن $\psi(x, y)$ :
$\psi(x, y) = x^3y - 3x^2 + y^2 + C$

STEP 13

نستخدم الشرط الابتدائي $y(0) = 2$ لإيجاد $C$ :
$\psi(0, 2) = 0^3 \cdot 2 - 3 \cdot 0^2 + 2^2 + C = 4 + C$

STEP 14

بما أن الشرط الابتدائي ينص على أن الحل يساوي صفر عند $x = 0$ و $y = 2$ ، فإن:
$4 + C = 0$

STEP 15

نحل لإيجاد $C$ :
$C = -4$

STEP 16

نعود إلى التعبير النهائي لـ $\psi(x, y)$ :
$\psi(x, y) = x^3y - 3x^2 + y^2 - 4$

STEP 17

نساوي $\psi(x, y)$ بالصفر للحصول على الحل الخاص:
$x^3y - 3x^2 + y^2 - 4 = 0$

STEP 18

نقوم بمقارنة الحلول المعطاة في الخيارات مع الحل الذي حصلنا عليه:
الحل الذي حصلنا عليه هو:
$x^3y - 3x^2 + y^2 = 4$

STEP 19

نلاحظ أن الخيار (c) يتطابق مع الحل الذي حصلنا عليه.
الحل الصحيح هو الخيار (c): $x^3y - 3x^2 + y^2 = 4$ .

Was this helpful?

Studdy Solution

STEP 1

STEP 2

نبدأ بتحليل المعادلة التفاضلية المعطاة. يمكننا إعادة كتابتها على الشكل التالي:3x2y dx−6x dx+x3 dy+2y dy=0 3x^2y \, dx - 6x \, dx + x^3 \, dy + 2y \, dy = 0 3x2ydx−6xdx+x3dy+2ydy=0

STEP 3

نلاحظ أن المعادلة التفاضلية هي من النوع الدقيق إذا كانت:∂M∂y=∂N∂x \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} ∂y∂M​=∂x∂N​حيث M=3x2y−6x M = 3x^2y - 6x M=3x2y−6x و N=x3+2y N = x^3 + 2y N=x3+2y.

STEP 4

نحسب المشتقة الجزئية لـ M M M بالنسبة لـ y y y:∂M∂y=3x2 \frac{\partial M}{\partial y} = 3x^2 ∂y∂M​=3x2

STEP 5

نحسب المشتقة الجزئية لـ N N N بالنسبة لـ x x x:∂N∂x=3x2 \frac{\partial N}{\partial x} = 3x^2 ∂x∂N​=3x2

STEP 6

نلاحظ أن ∂M∂y=∂N∂x\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}∂y∂M​=∂x∂N​، مما يعني أن المعادلة التفاضلية دقيقة.

STEP 7

بما أن المعادلة دقيقة، يمكننا إيجاد دالة الإمكان ψ(x,y) \psi(x, y) ψ(x,y) بحيث:∂ψ∂x=M \frac{\partial \psi}{\partial x} = M ∂x∂ψ​=M ∂ψ∂y=N \frac{\partial \psi}{\partial y} = N ∂y∂ψ​=N

STEP 8

نبدأ بإيجاد ψ(x,y) \psi(x, y) ψ(x,y) من خلال التكامل بالنسبة لـ x x x:ψ(x,y)=∫(3x2y−6x) dx=x3y−3x2+g(y) \psi(x, y) = \int (3x^2y - 6x) \, dx = x^3y - 3x^2 + g(y) ψ(x,y)=∫(3x2y−6x)dx=x3y−3x2+g(y)حيث g(y) g(y) g(y) دالة في y y y فقط.

STEP 9

نحسب المشتقة الجزئية لـ ψ \psi ψ بالنسبة لـ y y y ونجعلها تساوي N N N:∂ψ∂y=x3+g′(y)=x3+2y \frac{\partial \psi}{\partial y} = x^3 + g'(y) = x^3 + 2y ∂y∂ψ​=x3+g′(y)=x3+2y

STEP 10

نحل المعادلة لإيجاد g′(y) g'(y) g′(y):g′(y)=2y g'(y) = 2y g′(y)=2y

STEP 11

نقوم بتكامل g′(y) g'(y) g′(y) بالنسبة لـ y y y لإيجاد g(y) g(y) g(y):g(y)=∫2y dy=y2+C g(y) = \int 2y \, dy = y^2 + C g(y)=∫2ydy=y2+C

STEP 12

نعود إلى التعبير عن ψ(x,y) \psi(x, y) ψ(x,y):ψ(x,y)=x3y−3x2+y2+C \psi(x, y) = x^3y - 3x^2 + y^2 + C ψ(x,y)=x3y−3x2+y2+C

STEP 13

نستخدم الشرط الابتدائي y(0)=2 y(0) = 2 y(0)=2 لإيجاد C C C:ψ(0,2)=03⋅2−3⋅02+22+C=4+C \psi(0, 2) = 0^3 \cdot 2 - 3 \cdot 0^2 + 2^2 + C = 4 + C ψ(0,2)=03⋅2−3⋅02+22+C=4+C

STEP 14

بما أن الشرط الابتدائي ينص على أن الحل يساوي صفر عند x=0 x = 0 x=0 و y=2 y = 2 y=2، فإن:4+C=0 4 + C = 0 4+C=0

STEP 15

نحل لإيجاد C C C:C=−4 C = -4 C=−4

STEP 16

نعود إلى التعبير النهائي لـ ψ(x,y) \psi(x, y) ψ(x,y):ψ(x,y)=x3y−3x2+y2−4 \psi(x, y) = x^3y - 3x^2 + y^2 - 4 ψ(x,y)=x3y−3x2+y2−4

STEP 17

نساوي ψ(x,y) \psi(x, y) ψ(x,y) بالصفر للحصول على الحل الخاص:x3y−3x2+y2−4=0 x^3y - 3x^2 + y^2 - 4 = 0 x3y−3x2+y2−4=0

STEP 18

نقوم بمقارنة الحلول المعطاة في الخيارات مع الحل الذي حصلنا عليه:الحل الذي حصلنا عليه هو:x3y−3x2+y2=4 x^3y - 3x^2 + y^2 = 4 x3y−3x2+y2=4

STEP 19

نلاحظ أن الخيار (c) يتطابق مع الحل الذي حصلنا عليه.الحل الصحيح هو الخيار (c): x3y−3x2+y2=4 x^3y - 3x^2 + y^2 = 4 x3y−3x2+y2=4.

Get Studdy

Studdy solves anything!

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

نبدأ بتحليل المعادلة التفاضلية المعطاة. يمكننا إعادة كتابتها على الشكل التالي:
$3x^2y \, dx - 6x \, dx + x^3 \, dy + 2y \, dy = 0$

نلاحظ أن المعادلة التفاضلية هي من النوع الدقيق إذا كانت:
$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$
حيث $M = 3x^2y - 6x$ و $N = x^3 + 2y$ .

نحسب المشتقة الجزئية لـ $M$ بالنسبة لـ $y$ :
$\frac{\partial M}{\partial y} = 3x^2$

نحسب المشتقة الجزئية لـ $N$ بالنسبة لـ $x$ :
$\frac{\partial N}{\partial x} = 3x^2$

نلاحظ أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ ، مما يعني أن المعادلة التفاضلية دقيقة.

بما أن المعادلة دقيقة، يمكننا إيجاد دالة الإمكان $\psi(x, y)$ بحيث:
$\frac{\partial \psi}{\partial x} = M$ $\frac{\partial \psi}{\partial y} = N$

نبدأ بإيجاد $\psi(x, y)$ من خلال التكامل بالنسبة لـ $x$ :
$\psi(x, y) = \int (3x^2y - 6x) \, dx = x^3y - 3x^2 + g(y)$
حيث $g(y)$ دالة في $y$ فقط.

نحسب المشتقة الجزئية لـ $\psi$ بالنسبة لـ $y$ ونجعلها تساوي $N$ :
$\frac{\partial \psi}{\partial y} = x^3 + g'(y) = x^3 + 2y$

نحل المعادلة لإيجاد $g'(y)$ :
$g'(y) = 2y$

نقوم بتكامل $g'(y)$ بالنسبة لـ $y$ لإيجاد $g(y)$ :
$g(y) = \int 2y \, dy = y^2 + C$

نعود إلى التعبير عن $\psi(x, y)$ :
$\psi(x, y) = x^3y - 3x^2 + y^2 + C$

نستخدم الشرط الابتدائي $y(0) = 2$ لإيجاد $C$ :
$\psi(0, 2) = 0^3 \cdot 2 - 3 \cdot 0^2 + 2^2 + C = 4 + C$

بما أن الشرط الابتدائي ينص على أن الحل يساوي صفر عند $x = 0$ و $y = 2$ ، فإن:
$4 + C = 0$

نحل لإيجاد $C$ :
$C = -4$

نعود إلى التعبير النهائي لـ $\psi(x, y)$ :
$\psi(x, y) = x^3y - 3x^2 + y^2 - 4$

نساوي $\psi(x, y)$ بالصفر للحصول على الحل الخاص:
$x^3y - 3x^2 + y^2 - 4 = 0$

نقوم بمقارنة الحلول المعطاة في الخيارات مع الحل الذي حصلنا عليه:
الحل الذي حصلنا عليه هو:
$x^3y - 3x^2 + y^2 = 4$

نلاحظ أن الخيار (c) يتطابق مع الحل الذي حصلنا عليه.
الحل الصحيح هو الخيار (c): $x^3y - 3x^2 + y^2 = 4$ .