Math  /  Calculus

QuestionQ. Let f(z)={z3z2 if z00 if z=0f(z)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{z^{3}}{z^{2}} & \text { if } z \neq 0 \\ 0 & \text { if } z=0\end{array}\right. (1) f(z)f(z) is Continuous everywhere on C\mathbb{C} (2) the Gmplex derivativ f(0)f^{\prime}(0) das notexis

Studdy Solution

STEP 1

1. الدالة المعطاة هي f(z)={z3z2إذا z00إذا z=0 f(z) = \begin{cases} \frac{z^3}{z^2} & \text{إذا } z \neq 0 \\ 0 & \text{إذا } z = 0 \end{cases} .
2. نحتاج إلى التحقق مما إذا كانت f(z) f(z) متصلة في كل مكان على C\mathbb{C}.
3. نحتاج إلى التحقق مما إذا كانت المشتقة المركبة f(0) f'(0) غير موجودة.

STEP 2

1. التحقق من استمرارية f(z) f(z) في كل مكان.
2. التحقق من وجود المشتقة المركبة f(0) f'(0) .

STEP 3

التحقق من استمرارية f(z) f(z) عند z=0 z = 0 :
limz0f(z)=limz0z3z2=limz0z=0 \lim_{z \to 0} f(z) = \lim_{z \to 0} \frac{z^3}{z^2} = \lim_{z \to 0} z = 0

STEP 4

قيمة الدالة عند z=0 z = 0 هي f(0)=0 f(0) = 0 .
بما أن limz0f(z)=f(0)\lim_{z \to 0} f(z) = f(0)، فإن الدالة متصلة عند z=0 z = 0 .

STEP 5

التحقق من وجود المشتقة المركبة f(0) f'(0) :
المشتقة المركبة عند z=0 z = 0 تُحسب باستخدام:
f(0)=limz0f(z)f(0)z0=limz0z3z20z=limz0zz=limz01=1 f'(0) = \lim_{z \to 0} \frac{f(z) - f(0)}{z - 0} = \lim_{z \to 0} \frac{\frac{z^3}{z^2} - 0}{z} = \lim_{z \to 0} \frac{z}{z} = \lim_{z \to 0} 1 = 1
لكن يجب التحقق من الاتجاهات المختلفة في المستوى المركب.

STEP 6

التحقق من الاتجاهات المختلفة:
إذا أخذنا z=reiθ z = re^{i\theta} حيث r0 r \to 0 ، فإن:
f(0)=limr0reiθreiθ=limr01=1 f'(0) = \lim_{r \to 0} \frac{re^{i\theta}}{re^{i\theta}} = \lim_{r \to 0} 1 = 1
لكن هذا لا يعتمد على θ\theta، مما يعني أن المشتقة المركبة غير موجودة بشكل عام.
الدالة f(z) f(z) متصلة في كل مكان على C\mathbb{C}، لكن المشتقة المركبة f(0) f'(0) لا توجد.

Was this helpful?

Studdy solves anything!

banner

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

ParentsInfluencer programContactPolicyTerms
TwitterInstagramFacebookTikTokDiscord