Math / Algebra

QuestionProblem 1. Consider the following oligopoly model. There are $n$ firms. Let $q_{i}$ denote the quantity produced by firm $i$ . The market clearing price $p$ depends on the total output: $p\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)=\left\{\begin{array}{cc} a-b \sum_{i=1}^{\infty} q_{i} & \text { if } a-b \sum\left(q_{i}\right)>0 \\ 0 & \text { otherwise } \end{array}\right.$ where $a>0, b>0$ . The total cost of firm $i$ for producing quantity $q_{i}$ is $C_{i}\left(q_{i}\right)=c q_{i}$ . That is, there are no fixed costs and the marginal cost is constant and equal to c. Assume that $c<a$ . Suppose that all firms choose their quantities simultaneously.
1. Find the equilibrium of the game played by the two firms.
2. What happens as $n$ approaches infinity? What is the economic interpretation of the limit result?

Studdy Solution

STEP 1

1. Ci sono $n$ imprese nel modello di oligopolio.
2. Ogni impresa $i$ produce una quantità $q_{i}$ .
3. Il prezzo di equilibrio di mercato $p$ dipende dalla produzione totale.
4. La funzione del prezzo è data da: $ p\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)=\left\{\begin{array}{cc} a-b \sum_{i=1}^{n} q_{i} & \text { se } a-b \sum\left(q_{i}\right)>0 \\ 0 & \text { altrimenti } \end{array}\right. \]
5. Il costo totale per l'impresa $ i $ è $ C_{i}\left(q_{i}\right)=c q_{i} $.
6. Non ci sono costi fissi e il costo marginale è costante e uguale a $ c $.
7. Si assume che $ c < a $.
8. Tutte le imprese scelgono le loro quantità simultaneamente.

STEP 2

1. Trova l'equilibrio di Nash per due imprese.
2. Analizza il comportamento del modello quando $n \to \infty$ .
3. Interpreta economicamente il risultato limite.

STEP 3

Trova l'equilibrio di Nash per due imprese.
Calcola il profitto per l'impresa $i$ : $\pi_i = p(q_1, q_2) \cdot q_i - C_i(q_i) = \left(a - b(q_1 + q_2)\right)q_i - cq_i$

STEP 4

Deriva la funzione di reazione per l'impresa $i$ .
Massimizza il profitto rispetto a $q_i$ : $\frac{\partial \pi_i}{\partial q_i} = a - b(q_1 + q_2) - bq_i - c = 0$
Risolvi per $q_i$ : $q_i = \frac{a - c - bq_j}{2b}$

STEP 5

Trova l'equilibrio risolvendo il sistema di equazioni delle funzioni di reazione.
Per due imprese, le funzioni di reazione sono: $q_1 = \frac{a - c - bq_2}{2b}$ $q_2 = \frac{a - c - bq_1}{2b}$
Risolvi il sistema: $q_1 = q_2 = \frac{a - c}{3b}$

STEP 6

Analizza il comportamento del modello quando $n \to \infty$ .
Se $n \to \infty$ , ogni impresa considera la somma delle quantità prodotte dalle altre imprese come data. La funzione di reazione diventa: $q_i = \frac{a - c - bQ_{-i}}{2b}$
Dove $Q_{-i}$ è la quantità totale prodotta dalle altre imprese.

STEP 7

Trova il limite della quantità prodotta da ciascuna impresa quando $n \to \infty$ .
Quando $n \to \infty$ , l'effetto di una singola impresa sul prezzo di mercato diventa trascurabile, quindi: $q_i \to 0$
Il prezzo di equilibrio diventa: $p = c$

STEP 8

Interpreta economicamente il risultato limite.
Quando $n \to \infty$ , il mercato si comporta come in concorrenza perfetta, dove il prezzo di equilibrio è uguale al costo marginale $c$ .

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STEP 1

STEP 2

1. Trova l'equilibrio di Nash per due imprese.
2. Analizza il comportamento del modello quando $n \to \infty$ .
3. Interpreta economicamente il risultato limite.

STEP 3

Trova l'equilibrio di Nash per due imprese.
Calcola il profitto per l'impresa $i$ : $\pi_i = p(q_1, q_2) \cdot q_i - C_i(q_i) = \left(a - b(q_1 + q_2)\right)q_i - cq_i$

STEP 4

Deriva la funzione di reazione per l'impresa $i$ .
Massimizza il profitto rispetto a $q_i$ : $\frac{\partial \pi_i}{\partial q_i} = a - b(q_1 + q_2) - bq_i - c = 0$
Risolvi per $q_i$ : $q_i = \frac{a - c - bq_j}{2b}$

STEP 5

Trova l'equilibrio risolvendo il sistema di equazioni delle funzioni di reazione.
Per due imprese, le funzioni di reazione sono: $q_1 = \frac{a - c - bq_2}{2b}$ $q_2 = \frac{a - c - bq_1}{2b}$
Risolvi il sistema: $q_1 = q_2 = \frac{a - c}{3b}$

STEP 6

STEP 7

Trova il limite della quantità prodotta da ciascuna impresa quando $n \to \infty$ .
Quando $n \to \infty$ , l'effetto di una singola impresa sul prezzo di mercato diventa trascurabile, quindi: $q_i \to 0$
Il prezzo di equilibrio diventa: $p = c$

STEP 8

Interpreta economicamente il risultato limite.
Quando $n \to \infty$ , il mercato si comporta come in concorrenza perfetta, dove il prezzo di equilibrio è uguale al costo marginale $c$ .

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STEP 1

STEP 2

1. Trova l'equilibrio di Nash per due imprese.2. Analizza il comportamento del modello quando n→∞ n \to \infty n→∞.3. Interpreta economicamente il risultato limite.

STEP 3

Trova l'equilibrio di Nash per due imprese.Calcola il profitto per l'impresa i i i: πi=p(q1,q2)⋅qi−Ci(qi)=(a−b(q1+q2))qi−cqi\pi_i = p(q_1, q_2) \cdot q_i - C_i(q_i) = \left(a - b(q_1 + q_2)\right)q_i - cq_iπi​=p(q1​,q2​)⋅qi​−Ci​(qi​)=(a−b(q1​+q2​))qi​−cqi​

STEP 4

STEP 5

STEP 6

STEP 7

Trova il limite della quantità prodotta da ciascuna impresa quando n→∞ n \to \infty n→∞.Quando n→∞ n \to \infty n→∞, l'effetto di una singola impresa sul prezzo di mercato diventa trascurabile, quindi: qi→0q_i \to 0qi​→0Il prezzo di equilibrio diventa: p=cp = cp=c

STEP 8

Interpreta economicamente il risultato limite.Quando n→∞ n \to \infty n→∞, il mercato si comporta come in concorrenza perfetta, dove il prezzo di equilibrio è uguale al costo marginale c c c.

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1. Trova l'equilibrio di Nash per due imprese.
2. Analizza il comportamento del modello quando $n \to \infty$ .
3. Interpreta economicamente il risultato limite.

Trova l'equilibrio di Nash per due imprese.
Calcola il profitto per l'impresa $i$ : $\pi_i = p(q_1, q_2) \cdot q_i - C_i(q_i) = \left(a - b(q_1 + q_2)\right)q_i - cq_i$

Trova il limite della quantità prodotta da ciascuna impresa quando $n \to \infty$ .
Quando $n \to \infty$ , l'effetto di una singola impresa sul prezzo di mercato diventa trascurabile, quindi: $q_i \to 0$
Il prezzo di equilibrio diventa: $p = c$

Interpreta economicamente il risultato limite.
Quando $n \to \infty$ , il mercato si comporta come in concorrenza perfetta, dove il prezzo di equilibrio è uguale al costo marginale $c$ .