Math  /  Algebra

QuestionPERGUNTAS/ORIENTAÇÖES Leia atentamente a prova e responda com clareza as seguintes questōes
1. Dados conjuntos A={xR:3x14},B={xR:1<x5}eA=\left\{x \in R:-3 \leq x \leq \frac{1}{4}\right\}, B=\{x \in R:-1<x \leq 5\} e C={xR:5x26x83x212x+120}C=\left\{x \in R:\left|5 x^{2}-6\right| x|-8|-\left|3 x^{2}-12\right| x|+12| \leq 0\right\}, determina os intervalos e as seguintes operaçōes: a) ABA \cap B b) BC\mathrm{B} \cap \mathrm{C} c) CAC-A d) ACA \cap C
2. Ache o campo de existências das funçōes. a) f(x)=1x236f(x)=\frac{1}{x^{2}-36} b) y=5+x5x+3y=\sqrt{5+x}-\sqrt{5-x}+3 c) y=log(x3)(6x5x2)y=\log _{(x-3)}\left(6 x-5-x^{2}\right)
3. Dadas as sucessões numérica, determine o termo geral das sucessões e vigésimo termo. a) 43,78,1015,1324,\frac{4}{3}, \frac{7}{8}, \frac{10}{15}, \frac{13}{24}, \ldots b) 1,3,5,71,3,5,7 \ldots
4. Calcule os seguintes limites. a) limx(1+3+5+7++(2x1)x+12x+12)\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{1+3+5+7+\cdots+(2 x-1)}{x+1}-\frac{2 x+1}{2}\right) b) limxxx+x+x\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}} c) limxx23x4x4+x2\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}-3 x-4}{\sqrt{x^{4}+x-2}}

Pensamento: A velocidade de um veiculo não altera a distância, mas sim diminui o tempo viagem.
Cotação: 1-a) 1 valor; 1-b) 2 valores; 1-c) 2 valores; 1-d) 2 valores; 2 - 5 valores; 3 - 3,5 valores; 4-4,5 valores

Studdy Solution

STEP 1

1. Temos três conjuntos A A , B B e C C definidos por intervalos e condições.
2. Precisamos determinar os intervalos resultantes das operações de interseção e diferença entre esses conjuntos.
3. Precisamos encontrar o domínio de existência das funções dadas.
4. Precisamos determinar o termo geral e o vigésimo termo das sucessões numéricas.
5. Precisamos calcular os limites dados.

STEP 2

1. Determinar os intervalos das operações entre conjuntos.
2. Encontrar o domínio de existência das funções.
3. Determinar o termo geral e o vigésimo termo das sucessões.
4. Calcular os limites.

STEP 3

Determinar os intervalos das operações entre conjuntos.
a) AB A \cap B
A={xR:3x14} A = \left\{x \in \mathbb{R} : -3 \leq x \leq \frac{1}{4}\right\} B={xR:1<x5} B = \{x \in \mathbb{R} : -1 < x \leq 5\}
O intervalo de interseção é:
AB={xR:1<x14} A \cap B = \left\{x \in \mathbb{R} : -1 < x \leq \frac{1}{4}\right\}

STEP 4

b) BC B \cap C
Determinar o intervalo de C C resolvendo a inequação:
5x26x83x212x+120 \left|5x^2 - 6|x| - 8\right| - \left|3x^2 - 12|x| + 12\right| \leq 0
Resolver esta inequação para encontrar o intervalo de C C .

STEP 5

c) CA C - A
Depois de determinar o intervalo de C C , calcular a diferença CA C - A .

STEP 6

d) AC A \cap C
Calcular a interseção entre A A e C C após determinar o intervalo de C C .

STEP 7

Encontrar o domínio de existência das funções.
a) f(x)=1x236 f(x) = \frac{1}{x^2 - 36}
O denominador não pode ser zero, então:
x2360 x^2 - 36 \neq 0 x±6 x \neq \pm 6
O domínio é R{6,6} \mathbb{R} \setminus \{-6, 6\} .

STEP 8

b) y=5+x5x+3 y = \sqrt{5+x} - \sqrt{5-x} + 3
As expressões dentro das raízes devem ser não-negativas:
5+x0e5x0 5 + x \geq 0 \quad \text{e} \quad 5 - x \geq 0
x5ex5 x \geq -5 \quad \text{e} \quad x \leq 5
O domínio é [5,5] [-5, 5] .

STEP 9

c) y=log(x3)(6x5x2) y = \log_{(x-3)}(6x - 5 - x^2)
A base do logaritmo deve ser positiva e diferente de 1, e o argumento do logaritmo deve ser positivo:
x3>0ex31 x - 3 > 0 \quad \text{e} \quad x - 3 \neq 1 6x5x2>0 6x - 5 - x^2 > 0
Resolver estas inequações para encontrar o domínio.

STEP 10

Determinar o termo geral e o vigésimo termo das sucessões.
a) 43,78,1015,1324, \frac{4}{3}, \frac{7}{8}, \frac{10}{15}, \frac{13}{24}, \ldots
Identificar um padrão e formular o termo geral.

STEP 11

b) 1,3,5,7, 1, 3, 5, 7, \ldots
Esta é uma progressão aritmética com diferença comum de 2.
O termo geral é an=1+(n1)×2=2n1 a_n = 1 + (n-1) \times 2 = 2n - 1 .
O vigésimo termo é:
a20=2×201=39 a_{20} = 2 \times 20 - 1 = 39

STEP 12

Calcular os limites.
a) limx(1+3+5+7++(2x1)x+12x+12) \lim_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{1+3+5+7+\cdots+(2x-1)}{x+1}-\frac{2x+1}{2}\right)
Identificar a soma dos números ímpares e simplificar.

STEP 13

b) limxxx+x+x \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}
Simplificar a expressão para encontrar o limite.

STEP 14

c) limxx23x4x4+x2 \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^2 - 3x - 4}{\sqrt{x^4 + x - 2}}
Dividir numerador e denominador pelo maior termo para simplificar e encontrar o limite.

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