Questionмножество А компактно, где
Studdy Solution
STEP 1
1. Множество A состоит из двух частей: одноэлементного множества {2/3} и последовательности.
2. Для доказательства компактности необходимо показать, что множество замкнуто и ограничено.
3. Мы можем использовать определение предела последовательности для анализа поведения членов последовательности.
STEP 2
1. Исследовать ограниченность множества A.
2. Исследовать замкнутость множества A.
3. Сделать вывод о компактности множества A.
STEP 3
Рассмотрим общий член последовательности:
Найдем предел этой последовательности при n стремящемся к бесконечности:
STEP 4
Поскольку предел последовательности существует и равен 2/3, а также учитывая, что 2/3 является отдельным элементом множества A, мы можем заключить, что все элементы множества A ограничены сверху и снизу числом 2/3.
Таким образом, множество A ограничено.
STEP 5
Чтобы доказать замкнутость множества A, нужно показать, что все предельные точки принадлежат множеству.
Мы уже установили, что предел последовательности равен 2/3, и этот элемент явно включен в множество A.
STEP 6
Покажем, что других предельных точек у множества A нет. Предположим, существует некоторая предельная точка x ≠ 2/3. Тогда должна существовать подпоследовательность, сходящаяся к x. Однако, так как вся последовательность сходится к 2/3, любая ее подпоследовательность также должна сходиться к 2/3. Это противоречие показывает, что 2/3 - единственная предельная точка множества A.
Так как единственная предельная точка 2/3 принадлежит множеству A, то множество A замкнуто.
STEP 7
Мы показали, что множество A ограничено и замкнуто. По определению, ограниченное и замкнутое множество в метрическом пространстве является компактным.
Следовательно, множество A компактно.
Was this helpful?
