Studdy Solution
STEP 1
What is this asking?
On veut calculer la **dérivée** de la fonction f(x)=cos(x3)x.
Watch out!
Attention aux règles de dérivation, surtout avec le **quotient** et la **composition** de fonctions!
STEP 2
1. Définir la fonction
2. Appliquer la règle du quotient
3. Calculer les dérivées individuelles
4. Simplifier l'expression
STEP 3
On commence par bien comprendre notre fonction: f(x)=cos(x3)x.
C'est une division, donc on va utiliser la **règle du quotient** pour dériver.
STEP 4
La règle du quotient nous dit que si f(x)=v(x)u(x), alors f′(x)=v(x)2u′(x)v(x)−u(x)v′(x).
Ici, u(x)=x et v(x)=cos(x3).
STEP 5
**Calculons u′(x):** Comme u(x)=x, on a u′(x)=1.
STEP 6
**Calculons v′(x):** Pour v(x)=cos(x3), on utilise la dérivée de cos, qui est −sin, et la règle de la chaîne.
Donc, v′(x)=−sin(x3)⋅(3x2).
STEP 7
On remplace dans la formule de la dérivée du quotient:
f′(x)=cos(x3)21⋅cos(x3)−x⋅(−sin(x3)⋅3x2)
STEP 8
Simplifions l'expression:
f′(x)=cos(x3)2cos(x3)+3x3sin(x3)
STEP 9
La dérivée de la fonction est:
f′(x)=cos(x3)2cos(x3)+3x3sin(x3)
