Math Snap

STEP 1

Что от нас требуется?
Нужно доказать, что пересечение любого количества замкнутых множеств замкнуто, и объединение конечного числа замкнутых множеств тоже замкнуто.
Осторожно!
Не перепутайте пересечение и объединение, и помните, что для объединения мы говорим только о конечном числе множеств!

STEP 2

1. Доказательство для пересечения
2. Доказательство для объединения

STEP 3

Давайте начнем с семейства замкнутых множеств $\{F_\alpha\}_{\alpha \in A}$.
Что значит "замкнутое"?
Это значит, что для каждого $\alpha$ существует открытое множество $U_\alpha$, такое что $F_\alpha$ – это всё, кроме $U_\alpha$, то есть $F_\alpha = \mathbb{R} \backslash U_\alpha$.
Представьте себе замкнутый интервал – это как раз вся числовая прямая, кроме двух открытых "хвостов" по краям!

STEP 4

Теперь давайте возьмём пересечение всех наших замкнутых множеств $F_\alpha$.
Что это значит?
Это значит, что мы берём только те элементы, которые есть во всех $F_\alpha$ одновременно.
Запишем это так: $\bigcap_{\alpha \in A} F_\alpha$.

STEP 5

Вспомним, что каждое $F_\alpha = \mathbb{R} \backslash U_\alpha$.
Подставим это в наше пересечение: $\bigcap_{\alpha \in A} (\mathbb{R} \backslash U_\alpha)$.
Это всё равно что взять всю числовую прямую $\mathbb{R}$ и вырезать из неё все открытые множества $U_\alpha$.
Другими словами, это $\mathbb{R} \backslash \bigcup_{\alpha \in A} U_\alpha$.
Мы как бы "вычитаем" все $U_\alpha$ из $\mathbb{R}$!

STEP 6

Мы знаем, что объединение любого количества открытых множеств – это тоже открытое множество.
Значит, $\bigcup_{\alpha \in A} U_\alpha$ – открытое.
А если мы "вычитаем" открытое множество из $\mathbb{R}$, то что остаётся? Замкнутое множество!
Вот мы и доказали, что пересечение любого количества замкнутых множеств замкнуто!

STEP 7

Теперь давайте рассмотрим объединение конечного числа замкнутых множеств.
Пусть у нас есть $F_1, F_2, ..., F_n$.
И, как и раньше, для каждого $F_i$ есть соответствующее открытое множество $U_i$, такое что $F_i = \mathbb{R} \backslash U_i$.

STEP 8

Объединение $\bigcup_{i=1}^{n} F_i$ – это все элементы, которые есть хотя бы в одном из $F_i$.
Подставим $F_i = \mathbb{R} \backslash U_i$: получим $\bigcup_{i=1}^{n} (\mathbb{R} \backslash U_i)$.

STEP 9

Это то же самое, что взять $\mathbb{R}$ и вырезать из неё пересечение всех $U_i$, то есть $\mathbb{R} \backslash \bigcap_{i=1}^{n} U_i$.
Почему? Потому что если элемент не принадлежит хотя бы одному $U_i$, то он принадлежит хотя бы одному $F_i$.

STEP 10

Мы знаем, что пересечение конечного числа открытых множеств – это тоже открытое множество.
Значит, $\bigcap_{i=1}^{n} U_i$ – открытое.
А раз мы "вычитаем" открытое множество из $\mathbb{R}$, то, как и в предыдущем случае, остаётся замкнутое множество!
Вот и доказали, что объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто!

Мы доказали, что пересечение любого семейства замкнутых множеств замкнуто, и объединение конечного числа замкнутых множеств тоже замкнуто.