QuestionЛемма 3.1.20. Пересечение любого семейства замкнутых множеств замкнуто, а объединение конечного числа замкнутых замкнуто.
Доказательство. Пусть - какое-то семейство замкнутых множеств, тогда, согласно определению 3.1 .17 , имеется семейство открытых множеств , что для любого .
Согласно (1.0.1), (1.0.1) получаем
но согласно 8.3.5, множества - открыты, что и завершает доказательство.
!. Объединение бесконечного числа замкнутых, вообще говоря, не замкнуто. Более того, такое - объединение может быть открытым множеством. Например, .
Studdy Solution
STEP 1
Что от нас требуется? Нужно доказать, что пересечение любого количества замкнутых множеств замкнуто, и объединение конечного числа замкнутых множеств тоже замкнуто. Осторожно! Не перепутайте пересечение и объединение, и помните, что для объединения мы говорим только о *конечном* числе множеств!
STEP 2
1. Доказательство для пересечения
2. Доказательство для объединения
STEP 3
Давайте **начнем** с семейства замкнутых множеств .
Что значит "замкнутое"?
Это значит, что для каждого существует открытое множество , такое что – это всё, *кроме* , то есть .
Представьте себе замкнутый интервал – это как раз вся числовая прямая, *кроме* двух открытых "хвостов" по краям!
STEP 4
Теперь давайте возьмём пересечение всех наших замкнутых множеств .
Что это значит?
Это значит, что мы берём только те элементы, которые есть *во всех* одновременно.
Запишем это так: .
STEP 5
Вспомним, что каждое .
Подставим это в наше пересечение: .
Это всё равно что взять всю числовую прямую и *вырезать* из неё *все* открытые множества .
Другими словами, это .
Мы как бы "вычитаем" все из !
STEP 6
Мы знаем, что объединение любого количества открытых множеств – это тоже открытое множество.
Значит, – открытое.
А если мы "вычитаем" открытое множество из , то что остаётся? **Замкнутое множество**!
Вот мы и **доказали**, что пересечение любого количества замкнутых множеств замкнуто!
STEP 7
Теперь давайте рассмотрим **объединение** *конечного* числа замкнутых множеств.
Пусть у нас есть .
И, как и раньше, для каждого есть соответствующее открытое множество , такое что .
STEP 8
Объединение – это все элементы, которые есть *хотя бы в одном* из .
Подставим : получим .
STEP 9
Это то же самое, что взять и *вырезать* из неё *пересечение* всех , то есть .
Почему? Потому что если элемент не принадлежит хотя бы одному , то он принадлежит хотя бы одному .
STEP 10
Мы знаем, что пересечение *конечного* числа открытых множеств – это тоже открытое множество.
Значит, – открытое.
А раз мы "вычитаем" открытое множество из , то, как и в предыдущем случае, остаётся **замкнутое множество**!
Вот и **доказали**, что объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто!
STEP 11
Мы доказали, что пересечение любого семейства замкнутых множеств замкнуто, и объединение конечного числа замкнутых множеств тоже замкнуто.
Was this helpful?