Studdy AI Logo
Math  /  Calculus

Question(ج) مادة مشعة تضمحل حسب النموذج الأسي e = ) فإذا كانت فترة نصف الحياة لـ 1780 سنة، بَعْدَ كم سنة يتبقى ثلث المادة الأصلية ؟

Studdy Solution

STEP 1

1. المادة المشعة تضمحل حسب النموذج الأسي.
2. فترة نصف الحياة للمادة هي 1780 سنة.
3. نحتاج إلى حساب الزمن الذي يتبقى فيه ثلث المادة الأصلية.

STEP 2

1. تحديد معادلة الاضمحلال الأسي.
2. استخدام فترة نصف الحياة لإيجاد ثابت الاضمحلال.
3. حساب الزمن المطلوب ليبقى ثلث المادة الأصلية.

STEP 3

نبدأ بمعادلة الاضمحلال الأسي:
N(t)=N0e−kt N(t) = N_0 e^{-kt}
حيث N(t) N(t) هو كمية المادة المتبقية بعد زمن t t ، وN0 N_0 هو الكمية الأصلية، وk k هو ثابت الاضمحلال.

STEP 4

نستخدم فترة نصف الحياة لإيجاد ثابت الاضمحلال k k .
فترة نصف الحياة تعني أن:
N0/2=N0e−k⋅1780 N_0/2 = N_0 e^{-k \cdot 1780}
نقسم على N0 N_0 ونأخذ اللوغاريتم الطبيعي:
ln⁡(1/2)=−k⋅1780 \ln(1/2) = -k \cdot 1780
نحل المعادلة لإيجاد k k :
k=−ln⁡(1/2)1780 k = -\frac{\ln(1/2)}{1780}

STEP 5

نريد إيجاد الزمن الذي يتبقى فيه ثلث المادة الأصلية:
N0/3=N0e−kt N_0/3 = N_0 e^{-kt}
نقسم على N0 N_0 ونأخذ اللوغاريتم الطبيعي:
ln⁡(1/3)=−kt \ln(1/3) = -kt
نحل المعادلة لإيجاد t t :
t=−ln⁡(1/3)k t = -\frac{\ln(1/3)}{k}
نعوض قيمة k k التي حسبناها:
t=−ln⁡(1/3)−ln⁡(1/2)1780 t = -\frac{\ln(1/3)}{-\frac{\ln(1/2)}{1780}}
t=1780⋅ln⁡(1/3)ln⁡(1/2) t = \frac{1780 \cdot \ln(1/3)}{\ln(1/2)}
الحل النهائي للزمن هو:
2831.8 \boxed{2831.8} سنة تقريباً.

Was this helpful?

Studdy solves anything!

banner

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

ParentsInfluencer programContactPolicyTerms
TwitterInstagramFacebookTikTokDiscord