Math / Calculus

Questionii) Discutere l'esistenza del limite per $n \rightarrow+\infty$ della successione $\left(a_{n}\right)_{n}$ definita per ricorrenza da $\left\{\begin{array}{l} a_{0}=\frac{1}{2} \\ a_{n+1}=a_{n}-a_{n}^{5}, \quad n \geq 0 . \end{array}\right.$
Se la successione $\left(a_{n}\right)_{n}$ è regolare, determinare $\lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}$ .

Studdy Solution

STEP 1

Cosa ci sta chiedendo? Dobbiamo capire se la successione $a_n$ ha un limite quando $n$ diventa super grande, e se ce l'ha, dobbiamo trovarlo! Attenzione! Le successioni definite per ricorrenza possono essere complicate!
Dobbiamo assicurarci di capire bene come un termine dipende dal precedente.

STEP 2

1. Analizzare la successione
2. Determinare il limite

STEP 3

Innanzitutto, notiamo che $a_0 = \frac{1}{2}$ .
Poi, vediamo che $a_{n+1}$ è sempre minore di $a_n$ , perché sottraiamo qualcosa di positivo ( $a_n^5$ ) ad $a_n$ .
Quindi la successione è decrescente!

STEP 4

Inoltre, dato che $a_0$ è positivo e sottraiamo sempre una quantità positiva, sembra che $a_n$ rimanga sempre positivo.
Verifichiamolo per induzione!
La base è $a_0 = \frac{1}{2} > 0$ . Ipotesi induttiva: $a_n > 0$ . Passo induttivo: $a_{n+1} = a_n - a_n^5$ .
Dato che $a_n > 0$ per ipotesi, anche $a_n^5 > 0$ .
Quindi $a_{n+1}$ è positivo, perché è la differenza tra un numero positivo ( $a_n$ ) e un numero positivo più piccolo ( $a_n^5$ ).
Quindi la successione è limitata inferiormente da zero!

STEP 5

Abbiamo una successione decrescente e limitata inferiormente.
Questo significa che ha un limite!
Chiamiamolo $L$ .

STEP 6

Se $a_n$ tende a $L$ , allora anche $a_{n+1}$ tende a $L$ .
Quindi possiamo scrivere: $\lim_{n \to \infty} a_{n+1} = \lim_{n \to \infty} (a_n - a_n^5)$ $L = L - L^5$

STEP 7

Sottraiamo $L$ da entrambi i lati: $L - L = L - L^5 - L$ $0 = -L^5$ Quindi $L^5 = 0$ , il che significa che $L = 0$ !

STEP 8

La successione $a_n$ ha un limite, e questo limite è zero! $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ .

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STEP 1

Cosa ci sta chiedendo? Dobbiamo capire se la successione $a_n$ ha un limite quando $n$ diventa super grande, e se ce l'ha, dobbiamo trovarlo! Attenzione! Le successioni definite per ricorrenza possono essere complicate!
Dobbiamo assicurarci di capire bene come un termine dipende dal precedente.

STEP 2

1. Analizzare la successione
2. Determinare il limite

STEP 3

Innanzitutto, notiamo che $a_0 = \frac{1}{2}$ .
Poi, vediamo che $a_{n+1}$ è sempre minore di $a_n$ , perché sottraiamo qualcosa di positivo ( $a_n^5$ ) ad $a_n$ .
Quindi la successione è decrescente!

STEP 4

STEP 5

Abbiamo una successione decrescente e limitata inferiormente.
Questo significa che ha un limite!
Chiamiamolo $L$ .

STEP 6

Se $a_n$ tende a $L$ , allora anche $a_{n+1}$ tende a $L$ .
Quindi possiamo scrivere: $\lim_{n \to \infty} a_{n+1} = \lim_{n \to \infty} (a_n - a_n^5)$ $L = L - L^5$

STEP 7

Sottraiamo $L$ da entrambi i lati: $L - L = L - L^5 - L$ $0 = -L^5$ Quindi $L^5 = 0$ , il che significa che $L = 0$ !

STEP 8

La successione $a_n$ ha un limite, e questo limite è zero! $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ .

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STEP 1

Cosa ci sta chiedendo? Dobbiamo capire se la successione ana_nan​ ha un limite quando nnn diventa super grande, e se ce l'ha, dobbiamo trovarlo! Attenzione! Le successioni definite per ricorrenza possono essere complicate!Dobbiamo assicurarci di capire bene come un termine dipende dal precedente.

STEP 2

1. Analizzare la successione2. Determinare il limite

STEP 3

Innanzitutto, notiamo che a0=12a_0 = \frac{1}{2}a0​=21​.Poi, vediamo che an+1a_{n+1}an+1​ è sempre *minore* di ana_nan​, perché sottraiamo qualcosa di positivo (an5a_n^5an5​) ad ana_nan​.Quindi la successione è **decrescente**!

STEP 4

STEP 5

Abbiamo una successione **decrescente** e **limitata inferiormente**.Questo significa che ha un limite!Chiamiamolo LLL.

STEP 6

Se ana_nan​ tende a LLL, allora anche an+1a_{n+1}an+1​ tende a LLL.Quindi possiamo scrivere: lim⁡n→∞an+1=lim⁡n→∞(an−an5) \lim_{n \to \infty} a_{n+1} = \lim_{n \to \infty} (a_n - a_n^5) n→∞lim​an+1​=n→∞lim​(an​−an5​) L=L−L5 L = L - L^5 L=L−L5

STEP 7

Sottraiamo LLL da entrambi i lati: L−L=L−L5−L L - L = L - L^5 - L L−L=L−L5−L 0=−L5 0 = -L^5 0=−L5Quindi L5=0L^5 = 0L5=0, il che significa che L=0L = 0L=0!

STEP 8

La successione ana_nan​ ha un limite, e questo limite è **zero**! lim⁡n→∞an=0 \lim_{n \to \infty} a_n = 0 limn→∞​an​=0.

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Cosa ci sta chiedendo? Dobbiamo capire se la successione $a_n$ ha un limite quando $n$ diventa super grande, e se ce l'ha, dobbiamo trovarlo! Attenzione! Le successioni definite per ricorrenza possono essere complicate!
Dobbiamo assicurarci di capire bene come un termine dipende dal precedente.

1. Analizzare la successione
2. Determinare il limite

Innanzitutto, notiamo che $a_0 = \frac{1}{2}$ .
Poi, vediamo che $a_{n+1}$ è sempre minore di $a_n$ , perché sottraiamo qualcosa di positivo ( $a_n^5$ ) ad $a_n$ .
Quindi la successione è decrescente!

Abbiamo una successione decrescente e limitata inferiormente.
Questo significa che ha un limite!
Chiamiamolo $L$ .

Se $a_n$ tende a $L$ , allora anche $a_{n+1}$ tende a $L$ .
Quindi possiamo scrivere: $\lim_{n \to \infty} a_{n+1} = \lim_{n \to \infty} (a_n - a_n^5)$ $L = L - L^5$

Sottraiamo $L$ da entrambi i lati: $L - L = L - L^5 - L$ $0 = -L^5$ Quindi $L^5 = 0$ , il che significa che $L = 0$ !

La successione $a_n$ ha un limite, e questo limite è zero! $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ .