Studdy AI Logo
Math  /  Calculus

Question\text{If } y^{x} = x^{y} \text{ then prove } y' = \frac{y^{2}(1-\ln x)}{x^{2}(1-\ln y)} \\

Studdy Solution

STEP 1

الافتراضات
1. لدينا المعادلة yx=xy y^x = x^y .
2. نريد إثبات أن المشتقة y′=y2(1−ln⁡x)x2(1−ln⁡y) y' = \frac{y^2(1-\ln x)}{x^2(1-\ln y)} .

STEP 2

نبدأ بأخذ اللوغاريتم الطبيعي للطرفين في المعادلة yx=xy y^x = x^y .
ln⁡(yx)=ln⁡(xy)\ln(y^x) = \ln(x^y)

STEP 3

استخدم خاصية اللوغاريتمات لتحويل الأسس إلى معاملات.
xln⁡y=yln⁡xx \ln y = y \ln x

STEP 4

نقوم بالتفاضل بالنسبة إلى x x باستخدام قاعدة الضرب.
ddx(xln⁡y)=ddx(yln⁡x)\frac{d}{dx}(x \ln y) = \frac{d}{dx}(y \ln x)

STEP 5

نطبق قاعدة الضرب على الطرف الأيسر.
ln⁡y+x1y⋅y′=y′ln⁡x+y⋅1x\ln y + x \frac{1}{y} \cdot y' = y' \ln x + y \cdot \frac{1}{x}

STEP 6

نقوم بتجميع الحدود التي تحتوي على y′ y' في طرف واحد.
x1y⋅y′−y′ln⁡x=y⋅1x−ln⁡yx \frac{1}{y} \cdot y' - y' \ln x = y \cdot \frac{1}{x} - \ln y

STEP 7

نخرج y′ y' كعامل مشترك.
y′(x1y−ln⁡x)=y⋅1x−ln⁡yy' \left( x \frac{1}{y} - \ln x \right) = y \cdot \frac{1}{x} - \ln y

STEP 8

نحل المعادلة بالنسبة لـ y′ y' .
y′=y⋅1x−ln⁡yx1y−ln⁡xy' = \frac{y \cdot \frac{1}{x} - \ln y}{x \frac{1}{y} - \ln x}

STEP 9

نقوم بتبسيط الكسر.
y′=yx−ln⁡yxy−ln⁡xy' = \frac{\frac{y}{x} - \ln y}{\frac{x}{y} - \ln x}

STEP 10

نضرب البسط والمقام في y⋅x y \cdot x لتبسيط الكسر.
y′=y2−yxln⁡yx2−xyln⁡xy' = \frac{y^2 - yx \ln y}{x^2 - xy \ln x}

STEP 11

نقوم بإعادة ترتيب الحدود في البسط والمقام.
y′=y2(1−ln⁡y)x2(1−ln⁡x)y' = \frac{y^2 (1 - \ln y)}{x^2 (1 - \ln x)}
وبذلك نكون قد أثبتنا أن:
y′=y2(1−ln⁡x)x2(1−ln⁡y)y' = \frac{y^2(1-\ln x)}{x^2(1-\ln y)}

Was this helpful?

Studdy solves anything!

banner

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

ParentsInfluencer programContactPolicyTerms
TwitterInstagramFacebookTikTokDiscord