Studdy AI Logo
Math  /  Trigonometry

QuestionIf sin⁡u=x6\sin u=\frac{x}{6}, express 4sin⁡u+cos⁡u4 \sin u+\cos \boldsymbol{u} in terms of x\boldsymbol{x}. Assume 0<u<π20<\boldsymbol{u}<\frac{\pi}{2}.

Studdy Solution

STEP 1

1. Sabemos que sin⁡u=x6 \sin u = \frac{x}{6} .
2. Queremos expresar 4sin⁡u+cos⁡u 4 \sin u + \cos u en términos de x x .
3. Dado que 0<u<π2 0 < u < \frac{\pi}{2} , tanto sin⁡u \sin u como cos⁡u \cos u son positivos.
4. Podemos usar la identidad trigonométrica fundamental sin⁡2u+cos⁡2u=1 \sin^2 u + \cos^2 u = 1 .

STEP 2

1. Expresar sin⁡u \sin u en términos de x x .
2. Calcular cos⁡u \cos u usando la identidad trigonométrica.
3. Sustituir sin⁡u \sin u y cos⁡u \cos u en la expresión 4sin⁡u+cos⁡u 4 \sin u + \cos u .

STEP 3

Dado que sin⁡u=x6 \sin u = \frac{x}{6} , ya tenemos sin⁡u \sin u en términos de x x .
sin⁡u=x6 \sin u = \frac{x}{6}

STEP 4

Usar la identidad trigonométrica sin⁡2u+cos⁡2u=1 \sin^2 u + \cos^2 u = 1 para encontrar cos⁡u \cos u .
(x6)2+cos⁡2u=1 \left(\frac{x}{6}\right)^2 + \cos^2 u = 1
x236+cos⁡2u=1 \frac{x^2}{36} + \cos^2 u = 1
cos⁡2u=1−x236 \cos^2 u = 1 - \frac{x^2}{36}
cos⁡u=1−x236 \cos u = \sqrt{1 - \frac{x^2}{36}}

STEP 5

Sustituir sin⁡u \sin u y cos⁡u \cos u en la expresión 4sin⁡u+cos⁡u 4 \sin u + \cos u .
4sin⁡u+cos⁡u=4(x6)+1−x236 4 \sin u + \cos u = 4 \left(\frac{x}{6}\right) + \sqrt{1 - \frac{x^2}{36}}
=4x6+1−x236 = \frac{4x}{6} + \sqrt{1 - \frac{x^2}{36}}
=2x3+1−x236 = \frac{2x}{3} + \sqrt{1 - \frac{x^2}{36}}
La expresión 4sin⁡u+cos⁡u 4 \sin u + \cos u en términos de x x es:
2x3+1−x236 \boxed{\frac{2x}{3} + \sqrt{1 - \frac{x^2}{36}}}

Was this helpful?

Studdy solves anything!

banner

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

ParentsInfluencer programContactPolicyTerms
TwitterInstagramFacebookTikTokDiscord