Math  /  Algebra

QuestionGiven the function f(x)=ln(x+1) f(x) = \ln(x+1) , find the values of x x for which f(f(x))>x0 f(f(x)) > x_0 .

Studdy Solution

STEP 1

Τι μας ζητάει; Να βρούμε τις τιμές του xx για τις οποίες η σύνθετη συνάρτηση f(f(x))f(f(x)) είναι μεγαλύτερη από μια δοσμένη τιμή x0x_0. Προσοχή! Πρέπει να θυμόμαστε τον τομέα ορισμού του λογαρίθμου.
Το όρισμα του λογαρίθμου πρέπει να είναι **πάντα θετικό**.

STEP 2

1. Υπολογισμός της σύνθετης συνάρτησης
2. Επίλυση της ανισότητας

STEP 3

**Ξεκινάμε** υπολογίζοντας την f(f(x))f(f(x)).
Ξέρουμε ότι f(x)=ln(x+1)f(x) = \ln(x+1), οπότε αντικαθιστούμε το xx με f(x)f(x) για να βρούμε την f(f(x))f(f(x)).

STEP 4

Έχουμε f(f(x))=f(ln(x+1))=ln(ln(x+1)+1).f(f(x)) = f(\ln(x+1)) = \ln(\ln(x+1)+1).

STEP 5

**Στόχος μας** είναι να βρούμε τις τιμές του xx για τις οποίες f(f(x))>x0,f(f(x)) > x_0, δηλαδή ln(ln(x+1)+1)>x0.\ln(\ln(x+1)+1) > x_0.

STEP 6

Για να **απαλλαγούμε** από τον λογάριθμο, εφαρμόζουμε την εκθετική συνάρτηση και στις δύο πλευρές της ανισότητας: eln(ln(x+1)+1)>ex0,e^{\ln(\ln(x+1)+1)} > e^{x_0}, που μας δίνει ln(x+1)+1>ex0.\ln(x+1)+1 > e^{x_0}.

STEP 7

**Αφαιρούμε** 11 και από τις δύο πλευρές: ln(x+1)>ex01.\ln(x+1) > e^{x_0}-1.

STEP 8

**Εφαρμόζουμε** ξανά την εκθετική συνάρτηση: eln(x+1)>eex01,e^{\ln(x+1)} > e^{e^{x_0}-1}, που απλοποιείται σε x+1>eex01.x+1 > e^{e^{x_0}-1}.

STEP 9

Τέλος, **αφαιρούμε** 11 και από τις δύο πλευρές για να **απομονώσουμε** το xx: x>eex011.x > e^{e^{x_0}-1}-1.

STEP 10

Οι τιμές του xx που ικανοποιούν την ανίσωση f(f(x))>x0f(f(x)) > x_0 είναι x>eex011.x > e^{e^{x_0}-1}-1. Επιπλέον, επειδή το όρισμα του λογαρίθμου πρέπει να είναι θετικό, πρέπει να ισχύει x+1>0x+1>0 δηλαδή x>1x>-1 και ln(x+1)+1>0\ln(x+1)+1>0 δηλαδή x>1e1x > \frac{1}{e} - 1.

Was this helpful?

Studdy solves anything!

banner

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

ParentsInfluencer programContactPolicyTerms
TwitterInstagramFacebookTikTokDiscord