Math / Algebra

QuestionGegeben sind verschiedene Funktionen w(t), die immer den Bestand von Keimen in Abhangigkeit von de: if t darstellen.
Aufgabe 1 Formen Sie die Funktionsgleichung handschriftlich for gegebene Werte w(t) nach der Variablen t um. Verwenden Sie ihren Taschenrechner erst nach der Umformung. (Vorbereitung oHimi-Teil der Klausur) a) $w(t)=0,024 \cdot e^{2-t}$ for $w(t)=50$ b) $w(t)=0,024 \cdot e^{\frac{2}{2} t}$ for $w(t)=50$ c) $w(t)=0,024 \cdot e^{2 t}+20$ for $w(t)=120$
Aufgabe 2 Formen Sie die Funikionsgieichung handschnfflich for gegebene Werie w(t) nach der Variabien t um. Verwenden Sie ihren Taschenrechner erst nach der Umformung. (Vorberetung oHimi-Teil der Kausuri) a) $w(t)=0,024 \cdot 2^{t}$ för $w(t)=32,5$ b) $w(t)=0,024 \cdot 5^{2 t}$ für $w(t)=\frac{175}{2}$ c) $w(t)=0,024 \cdot\left(\frac{2}{7}\right)^{t}+25$ für $w(t)=50$
Autgabe 3 Formen Sie die Funktionsgleichung nach x um. a) $50=x \cdot e^{4}$ b) $52=4 \cdot e^{x}-4$ c) $50=x \cdot e^{5}-4$

Studdy Solution

STEP 1

Was ist das? Wir sollen die Gleichungen nach $t$ oder $x$ umstellen und dann den Wert berechnen. Vorsicht! Wir müssen die Reihenfolge der Operationen beachten und dürfen nicht vergessen, dass $e$ eine Konstante ist, keine Variable!

STEP 2

1. Aufgabe 1 lösen
2. Aufgabe 2 lösen
3. Aufgabe 3 lösen

STEP 3

Wir setzen $50$ für $w(t)$ ein: $50 = 0,024 \cdot e^{2-t}$ Wir dividieren beide Seiten durch $0,024$ , um die Exponentialfunktion zu isolieren: $\frac{50}{0,024} = e^{2-t}$ Wir wenden den natürlichen Logarithmus auf beide Seiten an: $\ln\left(\frac{50}{0,024}\right) = 2 - t$ Wir subtrahieren $2$ von beiden Seiten: $\ln\left(\frac{50}{0,024}\right) - 2 = -t$ Wir multiplizieren beide Seiten mit $-1$ : $t = 2 - \ln\left(\frac{50}{0,024}\right)$ Jetzt können wir $t$ mit dem Taschenrechner berechnen.

STEP 4

Wir verfahren wie in a): $50 = 0,024 \cdot e^t$ $t = \ln\left(\frac{50}{0,024}\right)$

STEP 5

$120 = 0,024 \cdot e^{2t} + 20$ Wir subtrahieren $20$ von beiden Seiten: $100 = 0,024 \cdot e^{2t}$ $2t = \ln\left(\frac{100}{0,024}\right)$ Wir dividieren durch $2$ : $t = \frac{1}{2} \cdot \ln\left(\frac{100}{0,024}\right)$

STEP 6

$32,5 = 0,024 \cdot 2^t$ $t = \log_2\left(\frac{32,5}{0,024}\right)$

STEP 7

$\frac{175}{2} = 0,024 \cdot 5^{2t}$ $2t = \log_5\left(\frac{175}{2 \cdot 0,024}\right)$ $t = \frac{1}{2} \cdot \log_5\left(\frac{175}{2 \cdot 0,024}\right)$

STEP 8

$50 = 0,024 \cdot \left(\frac{2}{7}\right)^t + 25$ $25 = 0,024 \cdot \left(\frac{2}{7}\right)^t$ $t = \log_{\frac{2}{7}}\left(\frac{25}{0,024}\right)$

STEP 9

$x = \frac{50}{e^4}$

STEP 10

$56 = 4 \cdot e^x$ $14 = e^x$ $x = \ln(14)$

STEP 11

$54 = x \cdot e^5$ $x = \frac{54}{e^5}$

STEP 12

Die Lösungen für $t$ und $x$ können nun mit dem Taschenrechner berechnet werden.
Die genauen Werte sind in den einzelnen Schritten zu finden.

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Studdy Solution

STEP 1

Was ist das? Wir sollen die Gleichungen nach $t$ oder $x$ umstellen und dann den Wert berechnen. Vorsicht! Wir müssen die Reihenfolge der Operationen beachten und dürfen nicht vergessen, dass $e$ eine Konstante ist, keine Variable!

STEP 2

1. Aufgabe 1 lösen
2. Aufgabe 2 lösen
3. Aufgabe 3 lösen

STEP 3

STEP 4

Wir verfahren wie in a): $50 = 0,024 \cdot e^t$ $t = \ln\left(\frac{50}{0,024}\right)$

STEP 5

$120 = 0,024 \cdot e^{2t} + 20$ Wir subtrahieren $20$ von beiden Seiten: $100 = 0,024 \cdot e^{2t}$ $2t = \ln\left(\frac{100}{0,024}\right)$ Wir dividieren durch $2$ : $t = \frac{1}{2} \cdot \ln\left(\frac{100}{0,024}\right)$

STEP 6

$32,5 = 0,024 \cdot 2^t$ $t = \log_2\left(\frac{32,5}{0,024}\right)$

STEP 7

$\frac{175}{2} = 0,024 \cdot 5^{2t}$ $2t = \log_5\left(\frac{175}{2 \cdot 0,024}\right)$ $t = \frac{1}{2} \cdot \log_5\left(\frac{175}{2 \cdot 0,024}\right)$

STEP 8

$50 = 0,024 \cdot \left(\frac{2}{7}\right)^t + 25$ $25 = 0,024 \cdot \left(\frac{2}{7}\right)^t$ $t = \log_{\frac{2}{7}}\left(\frac{25}{0,024}\right)$

STEP 9

$x = \frac{50}{e^4}$

STEP 10

$56 = 4 \cdot e^x$ $14 = e^x$ $x = \ln(14)$

STEP 11

$54 = x \cdot e^5$ $x = \frac{54}{e^5}$

STEP 12

Die Lösungen für $t$ und $x$ können nun mit dem Taschenrechner berechnet werden.
Die genauen Werte sind in den einzelnen Schritten zu finden.

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STEP 1

Was ist das? Wir sollen die Gleichungen nach ttt oder xxx umstellen und dann den Wert berechnen. Vorsicht! Wir müssen die **Reihenfolge der Operationen** beachten und dürfen nicht vergessen, dass eee eine **Konstante** ist, keine Variable!

STEP 2

1. Aufgabe 1 lösen2. Aufgabe 2 lösen3. Aufgabe 3 lösen

STEP 3

STEP 4

Wir **verfahren** wie in a): 50=0,024⋅et50 = 0,024 \cdot e^t50=0,024⋅et t=ln⁡(500,024)t = \ln\left(\frac{50}{0,024}\right)t=ln(0,02450​)

STEP 5

STEP 6

32,5=0,024⋅2t32,5 = 0,024 \cdot 2^t32,5=0,024⋅2t t=log⁡2(32,50,024)t = \log_2\left(\frac{32,5}{0,024}\right)t=log2​(0,02432,5​)

STEP 7

1752=0,024⋅52t\frac{175}{2} = 0,024 \cdot 5^{2t}2175​=0,024⋅52t 2t=log⁡5(1752⋅0,024)2t = \log_5\left(\frac{175}{2 \cdot 0,024}\right)2t=log5​(2⋅0,024175​) t=12⋅log⁡5(1752⋅0,024)t = \frac{1}{2} \cdot \log_5\left(\frac{175}{2 \cdot 0,024}\right)t=21​⋅log5​(2⋅0,024175​)

STEP 8

50=0,024⋅(27)t+2550 = 0,024 \cdot \left(\frac{2}{7}\right)^t + 2550=0,024⋅(72​)t+25 25=0,024⋅(27)t25 = 0,024 \cdot \left(\frac{2}{7}\right)^t25=0,024⋅(72​)t t=log⁡27(250,024)t = \log_{\frac{2}{7}}\left(\frac{25}{0,024}\right)t=log72​​(0,02425​)

STEP 9

x=50e4x = \frac{50}{e^4}x=e450​

STEP 10

56=4⋅ex56 = 4 \cdot e^x56=4⋅ex 14=ex14 = e^x14=ex x=ln⁡(14)x = \ln(14)x=ln(14)

STEP 11

54=x⋅e554 = x \cdot e^554=x⋅e5 x=54e5x = \frac{54}{e^5}x=e554​

STEP 12

Die Lösungen für ttt und xxx können nun mit dem Taschenrechner berechnet werden.Die genauen Werte sind in den einzelnen Schritten zu finden.

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1. Aufgabe 1 lösen
2. Aufgabe 2 lösen
3. Aufgabe 3 lösen

Wir verfahren wie in a): $50 = 0,024 \cdot e^t$ $t = \ln\left(\frac{50}{0,024}\right)$

$32,5 = 0,024 \cdot 2^t$ $t = \log_2\left(\frac{32,5}{0,024}\right)$

$\frac{175}{2} = 0,024 \cdot 5^{2t}$ $2t = \log_5\left(\frac{175}{2 \cdot 0,024}\right)$ $t = \frac{1}{2} \cdot \log_5\left(\frac{175}{2 \cdot 0,024}\right)$

$50 = 0,024 \cdot \left(\frac{2}{7}\right)^t + 25$ $25 = 0,024 \cdot \left(\frac{2}{7}\right)^t$ $t = \log_{\frac{2}{7}}\left(\frac{25}{0,024}\right)$

$x = \frac{50}{e^4}$

$56 = 4 \cdot e^x$ $14 = e^x$ $x = \ln(14)$

$54 = x \cdot e^5$ $x = \frac{54}{e^5}$

Die Lösungen für $t$ und $x$ können nun mit dem Taschenrechner berechnet werden.
Die genauen Werte sind in den einzelnen Schritten zu finden.