Math  /  Calculus

Question```latex f(x)={x2,πx0,0,0<xπ.f(x)=\left\{\begin{array}{lr}x-2, & -\pi \leq x \leq 0, \\ 0, & 0<x \leq \pi .\end{array}\right.
(Omsem: f(x)=π+42+2πk=1cos((2k1)x)(2k1)2+f(x)=-\frac{\pi+4}{2}+\frac{2}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos ((2 k-1) x)}{(2 k-1)^{2}}+
+4+ππk=1sin((2k1)x)2k1k=1sin(2kx)2k.)\left.+\frac{4+\pi}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sin ((2 k-1) x)}{2 k-1}-\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sin (2 k x)}{2 k} .\right)

Studdy Solution

STEP 1

STEP 2

Проверим определение функции f(x) f(x) :
\[ f(x) = \begin{cases} x-2, & -\pi \leq x \leq 0, \\ 0, & 0 < x \leq \pi \end{cases} $
Функция определена на интервале [π,π][-π, π] и имеет два разных выражения в зависимости от значения x x .

STEP 3

Рассмотрим разложение функции f(x) f(x) в ряд Фурье:
\[ f(x) = -\frac{\pi+4}{2} + \frac{2}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos((2k-1)x)}{(2k-1)^2} + \frac{4+\pi}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sin((2k-1)x)}{2k-1} - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sin(2kx)}{2k} $

STEP 4

Проверим коэффициенты ряда Фурье. Коэффициенты должны быть рассчитаны на основе интегралов от функции f(x) f(x) умноженной на соответствующие базисные функции (синусы и косинусы).

STEP 5

Вычислим коэффициенты a0 a_0 , an a_n , и bn b_n для ряда Фурье. Эти коэффициенты определяют разложение функции в ряд Фурье.

STEP 6

Сравним полученные коэффициенты с теми, что указаны в разложении, чтобы убедиться в их правильности.

STEP 7

Проверим сходимость ряда Фурье. Убедимся, что ряд сходится к функции f(x) f(x) на интервале [π,π][-π, π].

STEP 8

Сравним разложение с оригинальной функцией f(x) f(x) и убедимся, что разложение корректно описывает функцию на заданном интервале.

Was this helpful?

Studdy solves anything!

banner

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

ParentsInfluencer programContactPolicyTerms
TwitterInstagramFacebookTikTokDiscord