Math / Algebra

QuestionFür beliebige $x, y \in \mathbb{R}$ definieren wir $x \heartsuit y = x + y^2$ , also zum Beispiel $5 \heartsuit 4 = 21$ .
(a) Berechnen Sie $6 \heartsuit 2$ .
(b) Gilt $a \heartsuit 1 \ge 1 \heartsuit a$ für alle $a \in \mathbb{R}$ ? Gilt $a \heartsuit 1 < 1 \heartsuit a$ für alle $a \in \mathbb{R}$ ?
(c) Wie viele Paare $(x, y)$ mit $x \heartsuit y = 10$ und $x, y \in \mathbb{N}_0$ gibt es? Bemerkung: $\mathbb{N}_0 = \{0, 1, 2, 3, 4, \dots\}$ .

Studdy Solution

STEP 1

Что от нас требуется? Нам нужно разобраться с новой операцией, похожей на сложение, и решить несколько задач с её использованием. Осторожно! Не перепутайте порядок действий! $y$ возводится в квадрат перед сложением с $x$ .

STEP 2

1. Вычислить $6 \heartsuit 2$ .
2. Сравнить $a \heartsuit 1$ и $1 \heartsuit a$ .
3. Найти количество пар $(x, y)$ таких, что $x \heartsuit y = 10$ .

STEP 3

Нам дано, что $x \heartsuit y = x + y^2$ . Подставим значения $x = 6$ и $y = 2$ в формулу: $6 \heartsuit 2 = 6 + 2^2$

STEP 4

Возведём $2$ в квадрат: $2^2 = 2 \cdot 2 = 4$ . Подставим это значение в наше выражение: $6 + 4$

STEP 5

Сложим $6$ и $4$ : $6 + 4 = 10$ Итак, $6 \heartsuit 2 = 10$ .

STEP 6

Запишем выражения $a \heartsuit 1$ и $1 \heartsuit a$ используя данное определение: $a \heartsuit 1 = a + 1^2 = a + 1$ $1 \heartsuit a = 1 + a^2$

STEP 7

Рассмотрим разность $a \heartsuit 1$ и $1 \heartsuit a$ : $(a \heartsuit 1) - (1 \heartsuit a) = (a + 1) - (1 + a^2) = a - a^2$

STEP 8

Проверим несколько значений $a$ : * Если $a = 0$ , то $0 - 0^2 = 0$ . * Если $a = 1$ , то $1 - 1^2 = 0$ . * Если $a = 2$ , то $2 - 2^2 = 2 - 4 = -2 < 0$ , то есть $1 \heartsuit a > a \heartsuit 1$ . * Если $a = 0.5$ , то $0.5 - 0.5^2 = 0.5 - 0.25 = 0.25 > 0$ , то есть $a \heartsuit 1 > 1 \heartsuit a$ .

STEP 9

Вывод: Ни $a \heartsuit 1 \ge 1 \heartsuit a$ для всех $a$ , ни $a \heartsuit 1 < 1 \heartsuit a$ для всех $a$ не выполняется.

STEP 10

Нам дано $x \heartsuit y = 10$ и $x, y \in \mathbb{N}_0$ . Подставим определение операции: $x + y^2 = 10$

STEP 11

Выразим $x$ через $y$ : $x = 10 - y^2$

STEP 12

Так как $x$ и $y$ – натуральные числа или ноль, $y$ может принимать значения от $0$ до $3$ (так как $y^2 \le 10$ ). Переберём возможные значения $y$ и найдём соответствующие значения $x$ : * $y = 0$ : $x = 10 - 0^2 = 10$ * $y = 1$ : $x = 10 - 1^2 = 9$ * $y = 2$ : $x = 10 - 2^2 = 6$ * $y = 3$ : $x = 10 - 3^2 = 1$

STEP 13

Получили четыре пары: $(10, 0)$ , $(9, 1)$ , $(6, 2)$ , $(1, 3)$ .

STEP 14

(a) $6 \heartsuit 2 = 10$ . (b) Нет, ни одно из неравенств не выполняется для всех $a$ . (c) Существует четыре пары $(x, y)$ : $(10, 0)$ , $(9, 1)$ , $(6, 2)$ и $(1, 3)$ .

Was this helpful?

Studdy Solution

STEP 1

STEP 2

1. Вычислить $6 \heartsuit 2$ .
2. Сравнить $a \heartsuit 1$ и $1 \heartsuit a$ .
3. Найти количество пар $(x, y)$ таких, что $x \heartsuit y = 10$ .

STEP 3

Нам дано, что $x \heartsuit y = x + y^2$ . Подставим значения $x = 6$ и $y = 2$ в формулу: $6 \heartsuit 2 = 6 + 2^2$

STEP 4

Возведём $2$ в квадрат: $2^2 = 2 \cdot 2 = 4$ . Подставим это значение в наше выражение: $6 + 4$

STEP 5

Сложим $6$ и $4$ : $6 + 4 = 10$ Итак, $6 \heartsuit 2 = 10$ .

STEP 6

Запишем выражения $a \heartsuit 1$ и $1 \heartsuit a$ используя данное определение: $a \heartsuit 1 = a + 1^2 = a + 1$ $1 \heartsuit a = 1 + a^2$

STEP 7

Рассмотрим разность $a \heartsuit 1$ и $1 \heartsuit a$ : $(a \heartsuit 1) - (1 \heartsuit a) = (a + 1) - (1 + a^2) = a - a^2$

STEP 8

STEP 9

Вывод: Ни $a \heartsuit 1 \ge 1 \heartsuit a$ для всех $a$ , ни $a \heartsuit 1 < 1 \heartsuit a$ для всех $a$ не выполняется.

STEP 10

Нам дано $x \heartsuit y = 10$ и $x, y \in \mathbb{N}_0$ . Подставим определение операции: $x + y^2 = 10$

STEP 11

Выразим $x$ через $y$ : $x = 10 - y^2$

STEP 12

STEP 13

Получили четыре пары: $(10, 0)$ , $(9, 1)$ , $(6, 2)$ , $(1, 3)$ .

STEP 14

(a) $6 \heartsuit 2 = 10$ . (b) Нет, ни одно из неравенств не выполняется для всех $a$ . (c) Существует четыре пары $(x, y)$ : $(10, 0)$ , $(9, 1)$ , $(6, 2)$ и $(1, 3)$ .

Get Studdy

Studdy solves anything!

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

Studdy Solution

STEP 1

STEP 2

1. Вычислить 6♡26 \heartsuit 26♡2.2. Сравнить a♡1a \heartsuit 1a♡1 и 1♡a1 \heartsuit a1♡a.3. Найти количество пар (x,y)(x, y)(x,y) таких, что x♡y=10x \heartsuit y = 10x♡y=10.

STEP 3

Нам дано, что x♡y=x+y2x \heartsuit y = x + y^2x♡y=x+y2. **Подставим** значения x=6x = 6x=6 и y=2y = 2y=2 в формулу: 6♡2=6+226 \heartsuit 2 = 6 + 2^26♡2=6+22

STEP 4

**Возведём** 222 в квадрат: 22=2⋅2=42^2 = 2 \cdot 2 = 422=2⋅2=4. **Подставим** это значение в наше выражение: 6+46 + 46+4

STEP 5

**Сложим** 666 и 444: 6+4=106 + 4 = 106+4=10 Итак, 6♡2=106 \heartsuit 2 = 106♡2=10.

STEP 6

**Запишем** выражения a♡1a \heartsuit 1a♡1 и 1♡a1 \heartsuit a1♡a используя данное определение: a♡1=a+12=a+1a \heartsuit 1 = a + 1^2 = a + 1a♡1=a+12=a+1 1♡a=1+a21 \heartsuit a = 1 + a^21♡a=1+a2

STEP 7

**Рассмотрим** разность a♡1a \heartsuit 1a♡1 и 1♡a1 \heartsuit a1♡a: (a♡1)−(1♡a)=(a+1)−(1+a2)=a−a2(a \heartsuit 1) - (1 \heartsuit a) = (a + 1) - (1 + a^2) = a - a^2(a♡1)−(1♡a)=(a+1)−(1+a2)=a−a2

STEP 8

STEP 9

**Вывод:** Ни a♡1≥1♡aa \heartsuit 1 \ge 1 \heartsuit aa♡1≥1♡a для всех aaa, ни a♡1<1♡aa \heartsuit 1 < 1 \heartsuit aa♡1<1♡a для всех aaa не выполняется.

STEP 10

Нам дано x♡y=10x \heartsuit y = 10x♡y=10 и x,y∈N0x, y \in \mathbb{N}_0x,y∈N0​. **Подставим** определение операции: x+y2=10x + y^2 = 10x+y2=10

STEP 11

**Выразим** xxx через yyy: x=10−y2x = 10 - y^2x=10−y2

STEP 12

STEP 13

**Получили** четыре пары: (10,0)(10, 0)(10,0), (9,1)(9, 1)(9,1), (6,2)(6, 2)(6,2), (1,3)(1, 3)(1,3).

STEP 14

(a) 6♡2=106 \heartsuit 2 = 106♡2=10. (b) Нет, ни одно из неравенств не выполняется для всех aaa. (c) Существует четыре пары (x,y)(x, y)(x,y): (10,0)(10, 0)(10,0), (9,1)(9, 1)(9,1), (6,2)(6, 2)(6,2) и (1,3)(1, 3)(1,3).

Get Studdy

Studdy solves anything!

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

1. Вычислить $6 \heartsuit 2$ .
2. Сравнить $a \heartsuit 1$ и $1 \heartsuit a$ .
3. Найти количество пар $(x, y)$ таких, что $x \heartsuit y = 10$ .

Нам дано, что $x \heartsuit y = x + y^2$ . Подставим значения $x = 6$ и $y = 2$ в формулу: $6 \heartsuit 2 = 6 + 2^2$

Возведём $2$ в квадрат: $2^2 = 2 \cdot 2 = 4$ . Подставим это значение в наше выражение: $6 + 4$

Сложим $6$ и $4$ : $6 + 4 = 10$ Итак, $6 \heartsuit 2 = 10$ .

Запишем выражения $a \heartsuit 1$ и $1 \heartsuit a$ используя данное определение: $a \heartsuit 1 = a + 1^2 = a + 1$ $1 \heartsuit a = 1 + a^2$

Рассмотрим разность $a \heartsuit 1$ и $1 \heartsuit a$ : $(a \heartsuit 1) - (1 \heartsuit a) = (a + 1) - (1 + a^2) = a - a^2$

Вывод: Ни $a \heartsuit 1 \ge 1 \heartsuit a$ для всех $a$ , ни $a \heartsuit 1 < 1 \heartsuit a$ для всех $a$ не выполняется.

Нам дано $x \heartsuit y = 10$ и $x, y \in \mathbb{N}_0$ . Подставим определение операции: $x + y^2 = 10$

Выразим $x$ через $y$ : $x = 10 - y^2$

Получили четыре пары: $(10, 0)$ , $(9, 1)$ , $(6, 2)$ , $(1, 3)$ .

(a) $6 \heartsuit 2 = 10$ . (b) Нет, ни одно из неравенств не выполняется для всех $a$ . (c) Существует четыре пары $(x, y)$ : $(10, 0)$ , $(9, 1)$ , $(6, 2)$ и $(1, 3)$ .