Math

Question Solve for xx in the equation 169x=113169^{-x}=\frac{1}{\sqrt{13}}.

Studdy Solution

STEP 1

Annahmen1. Die Basis und der Exponent sind reale Zahlen. . Die Gleichung 169x=113169^{-x}=\frac{1}{\sqrt{13}} ist gegeben.

STEP 2

Zuerst bemerken wir, dass 169169 eine Quadratzahl ist. Es ist das Quadrat von 1313.
169=132169 =13^2

STEP 3

aher können wir 169169 durch 13213^2ersetzen.
169x=(132)x169^{-x} = (13^2)^{-x}

STEP 4

Wir können die Potenzregel anwenden, die besagt, dass (ab)c=abc(a^b)^c = a^{bc}.
(132)x=132(x)(13^2)^{-x} =13^{2(-x)}

STEP 5

Jetzt können wir die rechte Seite der Gleichung betrachten. Wir bemerken, dass 113\frac{1}{\sqrt{13}} gleich 131213^{-\frac{1}{2}} ist.
113=1312\frac{1}{\sqrt{13}} =13^{-\frac{1}{2}}

STEP 6

Jetzt setzen wir die beiden Ausdrücke gleich.
132(x)=131213^{2(-x)} =13^{-\frac{1}{2}}

STEP 7

Da die Basen auf beiden Seiten gleich sind, können wir die Exponenten gleichsetzen.
2(x)=122(-x) = -\frac{1}{2}

STEP 8

Um xx zu isolieren, teilen wir beide Seiten der Gleichung durch 2-2.
x=122x = \frac{-\frac{1}{2}}{-2}

STEP 9

Berechnen Sie den Wert von xx.
x=4x = \frac{}{4}aher ist die Lösung der Gleichung x=4x = \frac{}{4}.

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