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Math

Question Derive the function f(x)=ln⁡3x2f(x) = \ln 3x^2.

Studdy Solution

STEP 1

1. La función f(x)=Ln⁡3x2f(x) = \operatorname{Ln} 3x^2 está compuesta por la función logaritmo natural y una función polinómica.
2. La derivada de la función logaritmo natural Ln⁡u\operatorname{Ln} u con respecto a xx es 1u⋅dudx\frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx}, donde uu es una función de xx.
3. La regla de la cadena se utilizará para derivar funciones compuestas.
4. La derivada de xnx^n con respecto a xx es nxn−1nx^{n-1}.

STEP 2

1. Identificar la función interna y la función externa en la composición de funciones.
2. Aplicar la regla de la cadena para derivar la función compuesta.
3. Simplificar la expresión resultante.

STEP 3

Identificar la función interna uu y la función externa vv en la composición f(x)=Ln⁡3x2f(x) = \operatorname{Ln} 3x^2.
La función interna es u(x)=3x2u(x) = 3x^2 y la función externa es v(u)=Ln⁡uv(u) = \operatorname{Ln} u.

STEP 4

Aplicar la regla de la cadena para derivar la función compuesta f(x)=Ln⁡3x2f(x) = \operatorname{Ln} 3x^2.
La derivada de ff con respecto a xx es:
f′(x)=ddxLn⁡u⋅dudx f'(x) = \frac{d}{dx} \operatorname{Ln} u \cdot \frac{du}{dx}

STEP 5

Calcular la derivada de la función interna u(x)=3x2u(x) = 3x^2.
dudx=ddx3x2=6x \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} 3x^2 = 6x

STEP 6

Calcular la derivada de la función externa v(u)=Ln⁡uv(u) = \operatorname{Ln} u con respecto a uu.
dvdu=dduLn⁡u=1u \frac{dv}{du} = \frac{d}{du} \operatorname{Ln} u = \frac{1}{u}

STEP 7

Sustituir las derivadas calculadas en la fórmula de la regla de la cadena.
f′(x)=1u⋅6x f'(x) = \frac{1}{u} \cdot 6x

STEP 8

Reemplazar uu por 3x23x^2 en la expresión de la derivada.
f′(x)=13x2⋅6x f'(x) = \frac{1}{3x^2} \cdot 6x

STEP 9

Simplificar la expresión resultante.
f′(x)=6x3x2 f'(x) = \frac{6x}{3x^2}

STEP 10

Reducir la fracción simplificando términos comunes.
f′(x)=63x f'(x) = \frac{6}{3x}

STEP 11

Simplificar la constante numérica.
f′(x)=2x f'(x) = \frac{2}{x}
La derivada de la función f(x)=Ln⁡3x2f(x) = \operatorname{Ln} 3x^2 es:
f′(x)=2x f'(x) = \frac{2}{x}

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