Math / Calculus

QuestionFind equations of the tangent lines to the curve $y^{2}-x y-12=0$ at the points $(-1,3)$ , and $(-1,-4)$ .
The tangent line at $(-1,3)$ is $y=$ $\square$ (Type your answer in slope-intercept form. Use integers or fractions for any numbers in the expression.)

Studdy Solution

STEP 1

Bu ne soruyor? Bu problem, bize verilen eğrinin belirli iki noktasındaki teğet doğrularının denklemlerini bulmamızı istiyor.
Yani, eğriye $(-1, 3)$ ve $(-1, -4)$ noktalarında teğet olan doğruların denklemlerini bulmalıyız. Dikkat! İki nokta verilmiş olsa da, eğimleri bulmak için türevi alırken y'nin x'e bağlı olduğunu unutmamalıyız!
Yani, örtülü türev almamız gerekiyor.
Ayrıca, teğet denklemini eğim-kesim noktasını kullanarak yazmamızı istediklerini unutmayın.

STEP 2

1. Örtülü Türev Alma
2. Teğetlerin Eğimlerini Bulma
3. Teğet Denklemlerini Yazma

STEP 3

Verilen denklem $y^2 - xy - 12 = 0$ . x'e göre örtülü türev alarak başlayalım.
Bunu yapmamızın sebebi, y'nin x'in bir fonksiyonu olduğunu kabul ederek, y'nin türevini bulmamız gerektiğidir.

STEP 4

Denklemin her iki tarafının x'e göre türevini alalım.
Sol tarafta, zincir kuralını kullanarak $\frac{d}{dx}(y^2) = 2y\frac{dy}{dx}$ elde ederiz.
Çarpım kuralını kullanarak $\frac{d}{dx}(xy) = x\frac{dy}{dx} + y$ elde ederiz.
Sabitin türevi sıfırdır, yani $\frac{d}{dx}(12) = 0$ .

STEP 5

Şimdi, tüm türevleri birleştirerek, $2y\frac{dy}{dx} - x\frac{dy}{dx} - y = 0$ elde ederiz.

STEP 6

$\frac{dy}{dx}$ ifadesini yalnız bırakmak için denklemi düzenleyelim. $\frac{dy}{dx}(2y - x) = y$ olur.
Son olarak, her iki tarafı $(2y - x)$ ile bölerek, $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{2y - x}$ elde ederiz.
Bu, eğrinin herhangi bir noktasındaki teğetin eğimini veren ifadedir.
Harika!

STEP 7

Şimdi, bulduğumuz türev ifadesini kullanarak, verilen noktalardaki teğetlerin eğimlerini bulabiliriz.

STEP 8

$(-1, 3)$ noktasında, $x = -1$ ve $y = 3$ değerlerini yerine koyarak, eğim $m_1 = \frac{3}{2(3) - (-1)} = \frac{3}{7}$ olur.

STEP 9

$(-1, -4)$ noktasında, $x = -1$ ve $y = -4$ değerlerini yerine koyarak, eğim $m_2 = \frac{-4}{2(-4) - (-1)} = \frac{-4}{-7} = \frac{4}{7}$ olur.

STEP 10

Teğet doğrusunun denklemini eğim-kesim noktası formunda, yani $y = mx + b$ şeklinde yazabiliriz. m'yi bulduk, şimdi b'yi bulmalıyız.

STEP 11

$(-1, 3)$ noktasından geçen ve eğimi $\frac{3}{7}$ olan teğet için, $3 = \frac{3}{7}(-1) + b$ denklemini yazarız.
Buradan $b = 3 + \frac{3}{7} = \frac{24}{7}$ bulunur.
Dolayısıyla, teğet denklemi $y = \frac{3}{7}x + \frac{24}{7}$ 'dir.

STEP 12

$(-1, -4)$ noktasından geçen ve eğimi $\frac{4}{7}$ olan teğet için, $-4 = \frac{4}{7}(-1) + b$ denklemini yazarız.
Buradan $b = -4 + \frac{4}{7} = -\frac{24}{7}$ bulunur.
Dolayısıyla, teğet denklemi $y = \frac{4}{7}x - \frac{24}{7}$ 'dir.

STEP 13

$(-1, 3)$ noktasındaki teğet doğrusu: $y = \frac{3}{7}x + \frac{24}{7}$
$(-1, -4)$ noktasındaki teğet doğrusu: $y = \frac{4}{7}x - \frac{24}{7}$

Was this helpful?

QuestionFind equations of the tangent lines to the curve $y^{2}-x y-12=0$ at the points $(-1,3)$ , and $(-1,-4)$ .
The tangent line at $(-1,3)$ is $y=$ $\square$ (Type your answer in slope-intercept form. Use integers or fractions for any numbers in the expression.)

Studdy Solution

STEP 1

STEP 2

1. Örtülü Türev Alma
2. Teğetlerin Eğimlerini Bulma
3. Teğet Denklemlerini Yazma

STEP 3

Verilen denklem $y^2 - xy - 12 = 0$ . x'e göre örtülü türev alarak başlayalım.
Bunu yapmamızın sebebi, y'nin x'in bir fonksiyonu olduğunu kabul ederek, y'nin türevini bulmamız gerektiğidir.

STEP 4

Denklemin her iki tarafının x'e göre türevini alalım.
Sol tarafta, zincir kuralını kullanarak $\frac{d}{dx}(y^2) = 2y\frac{dy}{dx}$ elde ederiz.
Çarpım kuralını kullanarak $\frac{d}{dx}(xy) = x\frac{dy}{dx} + y$ elde ederiz.
Sabitin türevi sıfırdır, yani $\frac{d}{dx}(12) = 0$ .

STEP 5

Şimdi, tüm türevleri birleştirerek, $2y\frac{dy}{dx} - x\frac{dy}{dx} - y = 0$ elde ederiz.

STEP 6

$\frac{dy}{dx}$ ifadesini yalnız bırakmak için denklemi düzenleyelim. $\frac{dy}{dx}(2y - x) = y$ olur.
Son olarak, her iki tarafı $(2y - x)$ ile bölerek, $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{2y - x}$ elde ederiz.
Bu, eğrinin herhangi bir noktasındaki teğetin eğimini veren ifadedir.
Harika!

STEP 7

Şimdi, bulduğumuz türev ifadesini kullanarak, verilen noktalardaki teğetlerin eğimlerini bulabiliriz.

STEP 8

$(-1, 3)$ noktasında, $x = -1$ ve $y = 3$ değerlerini yerine koyarak, eğim $m_1 = \frac{3}{2(3) - (-1)} = \frac{3}{7}$ olur.

STEP 9

$(-1, -4)$ noktasında, $x = -1$ ve $y = -4$ değerlerini yerine koyarak, eğim $m_2 = \frac{-4}{2(-4) - (-1)} = \frac{-4}{-7} = \frac{4}{7}$ olur.

STEP 10

Teğet doğrusunun denklemini eğim-kesim noktası formunda, yani $y = mx + b$ şeklinde yazabiliriz. m'yi bulduk, şimdi b'yi bulmalıyız.

STEP 11

$(-1, 3)$ noktasından geçen ve eğimi $\frac{3}{7}$ olan teğet için, $3 = \frac{3}{7}(-1) + b$ denklemini yazarız.
Buradan $b = 3 + \frac{3}{7} = \frac{24}{7}$ bulunur.
Dolayısıyla, teğet denklemi $y = \frac{3}{7}x + \frac{24}{7}$ 'dir.

STEP 12

$(-1, -4)$ noktasından geçen ve eğimi $\frac{4}{7}$ olan teğet için, $-4 = \frac{4}{7}(-1) + b$ denklemini yazarız.
Buradan $b = -4 + \frac{4}{7} = -\frac{24}{7}$ bulunur.
Dolayısıyla, teğet denklemi $y = \frac{4}{7}x - \frac{24}{7}$ 'dir.

STEP 13

$(-1, 3)$ noktasındaki teğet doğrusu: $y = \frac{3}{7}x + \frac{24}{7}$
$(-1, -4)$ noktasındaki teğet doğrusu: $y = \frac{4}{7}x - \frac{24}{7}$

Get Studdy

Studdy solves anything!

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

Studdy Solution

STEP 1

STEP 2

1. Örtülü Türev Alma2. Teğetlerin Eğimlerini Bulma3. Teğet Denklemlerini Yazma

STEP 3

Verilen denklem y2−xy−12=0y^2 - xy - 12 = 0y2−xy−12=0. *x*'e göre örtülü türev alarak başlayalım.Bunu yapmamızın sebebi, *y*'nin *x*'in bir fonksiyonu olduğunu kabul ederek, *y*'nin türevini bulmamız gerektiğidir.

STEP 4

STEP 5

Şimdi, tüm türevleri birleştirerek, 2ydydx−xdydx−y=02y\frac{dy}{dx} - x\frac{dy}{dx} - y = 02ydxdy​−xdxdy​−y=0 elde ederiz.

STEP 6

STEP 7

Şimdi, bulduğumuz türev ifadesini kullanarak, verilen noktalardaki teğetlerin eğimlerini bulabiliriz.

STEP 8

(−1,3)(-1, 3)(−1,3) noktasında, x=−1x = -1x=−1 ve y=3y = 3y=3 değerlerini yerine koyarak, eğim m1=32(3)−(−1)=37m_1 = \frac{3}{2(3) - (-1)} = \frac{3}{7}m1​=2(3)−(−1)3​=73​ olur.

STEP 9

(−1,−4)(-1, -4)(−1,−4) noktasında, x=−1x = -1x=−1 ve y=−4y = -4y=−4 değerlerini yerine koyarak, eğim m2=−42(−4)−(−1)=−4−7=47m_2 = \frac{-4}{2(-4) - (-1)} = \frac{-4}{-7} = \frac{4}{7}m2​=2(−4)−(−1)−4​=−7−4​=74​ olur.

STEP 10

Teğet doğrusunun denklemini eğim-kesim noktası formunda, yani y=mx+by = mx + by=mx+b şeklinde yazabiliriz. *m*'yi bulduk, şimdi *b*'yi bulmalıyız.

STEP 11

STEP 12

STEP 13

(−1,3)(-1, 3)(−1,3) noktasındaki teğet doğrusu: y=37x+247y = \frac{3}{7}x + \frac{24}{7}y=73​x+724​(−1,−4)(-1, -4)(−1,−4) noktasındaki teğet doğrusu: y=47x−247y = \frac{4}{7}x - \frac{24}{7}y=74​x−724​

Get Studdy

Studdy solves anything!

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

1. Örtülü Türev Alma
2. Teğetlerin Eğimlerini Bulma
3. Teğet Denklemlerini Yazma

Verilen denklem $y^2 - xy - 12 = 0$ . x'e göre örtülü türev alarak başlayalım.
Bunu yapmamızın sebebi, y'nin x'in bir fonksiyonu olduğunu kabul ederek, y'nin türevini bulmamız gerektiğidir.

Şimdi, tüm türevleri birleştirerek, $2y\frac{dy}{dx} - x\frac{dy}{dx} - y = 0$ elde ederiz.

$(-1, 3)$ noktasında, $x = -1$ ve $y = 3$ değerlerini yerine koyarak, eğim $m_1 = \frac{3}{2(3) - (-1)} = \frac{3}{7}$ olur.

$(-1, -4)$ noktasında, $x = -1$ ve $y = -4$ değerlerini yerine koyarak, eğim $m_2 = \frac{-4}{2(-4) - (-1)} = \frac{-4}{-7} = \frac{4}{7}$ olur.

Teğet doğrusunun denklemini eğim-kesim noktası formunda, yani $y = mx + b$ şeklinde yazabiliriz. m'yi bulduk, şimdi b'yi bulmalıyız.

$(-1, 3)$ noktasındaki teğet doğrusu: $y = \frac{3}{7}x + \frac{24}{7}$
$(-1, -4)$ noktasındaki teğet doğrusu: $y = \frac{4}{7}x - \frac{24}{7}$