QuestionFind a basis for the null space of the matrix given below.
A basis for the null space is
(Use a comma to separate answers as needed.)
Studdy Solution
STEP 1
1. Verilen matrisin boyutu ve null uzayı bulmak için bu matrisin satır indirgenmiş satır eslem formunu (RREF) kullanacağız.
2. Null uzayı, matrisin homojen denklemler sisteminin çözüm kümesini temsil eder.
3. Null uzayı için bir temel bulmak, bu çözüm kümesini ifade eden vektörleri bulmak anlamına gelir.
STEP 2
1. Matrisin satır indirgenmiş satır eslem formunu (RREF) bul.
2. Serbest değişkenleri belirle.
3. Temel vektörleri oluştur.
STEP 3
Öncelikle verilen matrisi satır indirgenmiş satır eslem formuna (RREF) getireceğiz. Bu işlem, satır işlemleri kullanarak yapılır. Verilen matris:
Satır işlemleri uygulayarak RREF formuna getirelim:
1. Üçüncü satırı -1/6 ile çarpalım:
$ \left[\begin{array}{rrrrr}
1 & 1 & -2 & -2 & 4 \\
0 & 1 & 0 & -3 & -3 \\
0 & 0 & 1 & 0 & -2
\end{array}\right]
\]
2. İkinci satırdan üçüncü satırın 0. satırını çıkaralım:
$ \left[\begin{array}{rrrrr}
1 & 1 & -2 & -2 & 4 \\
0 & 1 & 0 & -3 & -3 \\
0 & 0 & 1 & 0 & -2
\end{array}\right]
\]
3. İlk satırdan üçüncü satırın -2 katını çıkaralım:
$ \left[\begin{array}{rrrrr}
1 & 1 & 0 & -2 & 0 \\
0 & 1 & 0 & -3 & -3 \\
0 & 0 & 1 & 0 & -2
\end{array}\right]
\]
4. İlk satırdan ikinci satırın 1 katını çıkaralım:
$ \left[\begin{array}{rrrrr}
1 & 0 & 0 & 1 & 3 \\
0 & 1 & 0 & -3 & -3 \\
0 & 0 & 1 & 0 & -2
\end{array}\right]
\]
STEP 4
Serbest değişkenleri belirleyelim. RREF formunda, pivot sütunlar 1. sütun, 2. sütun ve 3. sütundur. Serbest değişkenler 4. sütun ve 5. sütundur.
STEP 5
Serbest değişkenlere göre temel vektörleri oluşturacağız. Serbest değişkenler ve olsun. Her serbest değişken için birer temel vektör oluşturacağız.
1. , için:
$ \begin{align*}
x_1 & = -x_4 - 3x_5 = -1 \\
x_2 & = 3x_4 + 0x_5 = 3 \\
x_3 & = 0x_4 + 2x_5 = 0 \\
x_4 & = 1 \\
x_5 & = 0
\end{align*}
\]
Vektör: \([-1, 3, 0, 1, 0]\)
2. , için:
$ \begin{align*}
x_1 & = -x_4 - 3x_5 = -3 \\
x_2 & = 3x_4 + 0x_5 = 0 \\
x_3 & = 0x_4 + 2x_5 = 2 \\
x_4 & = 0 \\
x_5 & = 1
\end{align*}
\]
Vektör: \([-3, 0, 2, 0, 1]\)
Null uzayı için bir temel: .
Was this helpful?
