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Math  /  Algebra

QuestionFind a basis for the column space of A=[420−1−4−4−31420−1]A=\left[\begin{array}{cccc} 4 & 2 & 0 & -1 \\ -4 & -4 & -3 & 1 \\ 4 & 2 & 0 & -1 \end{array}\right]

Studdy Solution

STEP 1

1. 我们需要找到矩阵 A A 的列空间的基。
2. 列空间是由矩阵的列向量生成的向量空间。
3. 基是列空间中线性无关的向量组，能够生成整个列空间。

STEP 2

1. 将矩阵 A A 化为行简化阶梯形矩阵。
2. 确定主列。
3. 提取主列对应的原始列向量作为列空间的基。

STEP 3

将矩阵 A A 化为行简化阶梯形矩阵。我们从矩阵的第一行开始，通过初等行变换消去下面的元素。
矩阵 A A 是： A=[420−1−4−4−31420−1]A = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 0 & -1 \\ -4 & -4 & -3 & 1 \\ 4 & 2 & 0 & -1 \end{bmatrix}
首先，我们可以用第一行消去第二行和第三行的第一个元素。
对第二行 R2 R_2 执行 R2=R2+R1 R_2 = R_2 + R_1 ： [420−10−2−30420−1]\begin{bmatrix} 4 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & -2 & -3 & 0 \\ 4 & 2 & 0 & -1 \end{bmatrix}
对第三行 R3 R_3 执行 R3=R3−R1 R_3 = R_3 - R_1 ： [420−10−2−300000]\begin{bmatrix} 4 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & -2 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

STEP 4

确定主列。主列是行简化阶梯形矩阵中包含主元（非零元素）的列。
在行简化阶梯形矩阵中： [420−10−2−300000]\begin{bmatrix} 4 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & -2 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
第一列和第二列是主列，因为它们包含主元。

STEP 5

提取主列对应的原始列向量作为列空间的基。
从原始矩阵 A A 中提取第一列和第二列： [4−44],[2−42]\begin{bmatrix} 4 \\ -4 \\ 4 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ -4 \\ 2 \end{bmatrix}
因此，列空间的基为： {[4−44],[2−42]}\left\{ \begin{bmatrix} 4 \\ -4 \\ 4 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ -4 \\ 2 \end{bmatrix} \right\}

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