Math  /  Calculus

QuestionFaculté de chimic, USTHB 1.2 chimie, section C
Contrôle continue N2\mathrm{N}^{\circ} 2 Exercice N 1 : Calculer les intégrales suivantes : 1I1=(x2+y2)dxdy1-I_{1}=\iint\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y \quad avec 0x10 \leq x \leq 1 et 0y10 \leq y \leq 1 - 2- 12=sinxcosydxdy1_{2}=\iint \sin x \cos y d x d y avec 0xπ20 \leq x \leq \frac{\pi}{2} et 0yπ20 \leq y \leq \frac{\pi}{2}
Exercice N\mathrm{N}^{\circ} 2: Résoudre les équations différentielles suivantes :

Studdy Solution

STEP 1

1. Nous devons calculer deux intégrales doubles sur des domaines rectangulaires.
2. Les intégrales sont définies sur des intervalles fermés et bornés.
3. Les fonctions à intégrer sont continues sur les domaines donnés.

STEP 2

1. Calculer l'intégrale I1 I_1 .
2. Calculer l'intégrale I2 I_2 .

STEP 3

Calculons l'intégrale I1=(x2+y2)dxdy I_1 = \iint (x^2 + y^2) \, dx \, dy sur le domaine 0x1 0 \leq x \leq 1 et 0y1 0 \leq y \leq 1 .
1.1. Intégrer par rapport à x x en traitant y2 y^2 comme une constante:
01(x2+y2)dx=01x2dx+01y2dx \int_0^1 (x^2 + y^2) \, dx = \int_0^1 x^2 \, dx + \int_0^1 y^2 \, dx
1.2. Calculer chaque intégrale séparément:
01x2dx=[x33]01=13 \int_0^1 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3}
01y2dx=y2[x]01=y2 \int_0^1 y^2 \, dx = y^2 \cdot \left[ x \right]_0^1 = y^2
1.3. Combiner les résultats:
01(x2+y2)dx=13+y2 \int_0^1 (x^2 + y^2) \, dx = \frac{1}{3} + y^2
1.4. Intégrer le résultat par rapport à y y :
01(13+y2)dy=0113dy+01y2dy \int_0^1 \left( \frac{1}{3} + y^2 \right) \, dy = \int_0^1 \frac{1}{3} \, dy + \int_0^1 y^2 \, dy
1.5. Calculer chaque intégrale séparément:
0113dy=13[y]01=13 \int_0^1 \frac{1}{3} \, dy = \frac{1}{3} \cdot \left[ y \right]_0^1 = \frac{1}{3}
01y2dy=[y33]01=13 \int_0^1 y^2 \, dy = \left[ \frac{y^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3}
1.6. Combiner les résultats:
I1=13+13=23 I_1 = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

STEP 4

Calculons l'intégrale I2=sinxcosydxdy I_2 = \iint \sin x \cos y \, dx \, dy sur le domaine 0xπ2 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} et 0yπ2 0 \leq y \leq \frac{\pi}{2} .
2.1. Intégrer par rapport à x x :
0π2sinxdx=[cosx]0π2=cos(π2)+cos(0)=0+1=1 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx = \left[ -\cos x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = -\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos(0) = 0 + 1 = 1
2.2. Intégrer par rapport à y y :
0π2cosydy=[siny]0π2=sin(π2)sin(0)=10=1 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos y \, dy = \left[ \sin y \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin(0) = 1 - 0 = 1
2.3. Multiplier les résultats des intégrales:
I2=11=1 I_2 = 1 \cdot 1 = 1
Les valeurs des intégrales sont:
I1=23,I2=1 I_1 = \frac{2}{3}, \quad I_2 = 1

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