Math  /  Algebra

QuestionExponentes y polinomios Resolver un problema verbal usando una ecuación cuadrática con raices-
La longitud de un rectángulo es 1 ft más que el doble del ancho, y el área del rectángulo es 66ft266 \mathrm{ft}^{2}. Hallar las dimensiones del rectángulo.
Longitud : \square \square \square
Anchura : \square ft

Studdy Solution

STEP 1

¿Qué nos están preguntando? Necesitamos encontrar el largo y el ancho de un rectángulo, sabiendo que el largo es 1 pie más que el doble del ancho, y que el área es de 66 pies cuadrados. ¡Cuidado! Recuerda que el área de un rectángulo es largo por ancho. ¡No confundas el perímetro con el área!

STEP 2

1. Definir variables y plantear la ecuación.
2. Resolver la ecuación cuadrática.
3. Encontrar las dimensiones.

STEP 3

Vamos a llamar ww al ancho del rectángulo.
Como el largo es 1 pie más que el doble del ancho, el largo será 2w+12w + 1.

STEP 4

Sabemos que el área de un rectángulo es largo por ancho.
En nuestro caso, el área es de 66\textbf{66} pies cuadrados.
Entonces, podemos escribir la ecuación: (2w+1)w=66(2w + 1) \cdot w = 66

STEP 5

Primero, distribuimos la ww en el paréntesis: 2w2+w=662w^2 + w = 66 Ahora, restamos 66 a ambos lados de la ecuación para igualarla a cero: 2w2+w66=02w^2 + w - 66 = 0

STEP 6

Podemos usar la fórmula cuadrática para encontrar los valores de ww.
La fórmula cuadrática es: w=b±b24ac2aw = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} En nuestra ecuación, a=2a = \textbf{2}, b=1b = \textbf{1} y c=-66c = \textbf{-66}.
Sustituyendo estos valores en la fórmula cuadrática, obtenemos: w=1±1242(66)22w = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-66)}}{2 \cdot 2} w=1±1+5284w = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 528}}{4}w=1±5294w = \frac{-1 \pm \sqrt{529}}{4}w=1±234w = \frac{-1 \pm 23}{4}Esto nos da dos posibles soluciones para ww: w=1+234=224=112=5.5w = \frac{-1 + 23}{4} = \frac{22}{4} = \frac{11}{2} = 5.5 w=1234=244=6w = \frac{-1 - 23}{4} = \frac{-24}{4} = -6

STEP 7

Como el ancho no puede ser negativo, la única solución válida es w=5.5w = \textbf{5.5} pies.

STEP 8

Ya sabemos que el ancho es w=5.5w = \textbf{5.5} pies.
El largo es 2w+12w + 1, entonces: 25.5+1=11+1=122 \cdot 5.5 + 1 = 11 + 1 = 12 El largo es 12\textbf{12} pies.

STEP 9

Para verificar, multiplicamos el largo por el ancho para ver si obtenemos el área correcta: 125.5=6612 \cdot 5.5 = 66 ¡Perfecto! El área es de 66 pies cuadrados, que es lo que nos decía el problema.

STEP 10

El largo del rectángulo es 12\textbf{12} pies y el ancho es 5.5\textbf{5.5} pies.

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