Math  /  Geometry

QuestionEXERCICE III:5,5pts FABC\mathrm{F}-\mathrm{ABC} est un triangle équilatéral de côté 1 et O est le milieu de [AB][\mathrm{AB}]. Prendre 5 cm comme unité.
1. Soit (D) l'ensemble de points MM du plan tels que MA2MB2=1M A^{2}-M B^{2}=-1. a) Montrer que M appartient à (D) si, et seulement si OMundefinedABundefined=12\overrightarrow{O M} \cdot \overrightarrow{A B}=-\frac{1}{2}. b) Déterminer et construire l'ensemble des points (D).
2. Soit (C) l'ensemble des points MM du plan tels que MA2+MB2=52M A^{2}+M B^{2}=\frac{5}{2}. a) Montrer que M appartient à (C) si, et seulement si 20M2+12AB2=520,5pt20 M^{2}+\frac{1}{2} A B^{2}=\frac{5}{2} \quad 0,5 \mathrm{pt} b) Déterminer et construire l'ensemble des points ( C ). 0,5pt 1 pt 1 pt

G - Le système de sécurité d'une porte est une serrure à code. La porte est muni d'un dispositif portant les touches 1,2,3,4,5,6,7,8,91,2,3,4,5,6,7,8,9 et A,B,C\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, D . la porte s'ouvre lorsqu'on frappe dans l'ordre trois chiffres et deux lettres qui forment le code. Les chiffres sont nécessairement distincts et les lettres non.
1. Quel est le nombre de codes possibles ? 1pt
2. Déterminer le nombre de codes répondant aux critères suivants : Scared avec Canflanner a) Les trois chiffires sont pairs. 0,5pt0,5 \mathrm{pt} b) Les deux lettres sont identiques 0.5 pt c) Le code contient exactement deux chiffres impairs. 0,5pt0,5 \mathrm{pt}

Studdy Solution

STEP 1

Qu'est-ce qu'on nous demande ? On cherche à déterminer et à représenter graphiquement deux ensembles de points MM dans un plan, définis par des équations basées sur les distances à deux points fixes AA et BB, et puis on analyse des codes de sécurité. Attention ! Il faut bien faire attention aux signes et aux propriétés des triangles équilatéraux, et ne pas confondre les chiffres et les lettres pour les codes.

STEP 2

1. Ensemble (D)
2. Ensemble (C)
3. Codes de sécurité

STEP 3

On nous dit que MA2MB2=1MA^2 - MB^2 = -1.
C'est notre point de départ !
On veut montrer que c'est équivalent à OMundefinedABundefined=12\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{AB} = -\frac{1}{2}.

STEP 4

**Rappel important**: la relation de Chasles nous dit que MAundefined=MOundefined+OAundefined\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OA} et MBundefined=MOundefined+OBundefined\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OB}.
Super utile !

STEP 5

En développant MA2MB2MA^2 - MB^2, on obtient (MOundefined+OAundefined)2(MOundefined+OBundefined)2(\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OA})^2 - (\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OB})^2.
N'oublions pas que OO est le milieu de [AB][AB], donc OBundefined=OAundefined\overrightarrow{OB} = -\overrightarrow{OA}.

STEP 6

Après simplification (on ajoute à zéro et on divise par un), on trouve 2MOundefined(OAundefinedOBundefined)=12\overrightarrow{MO} \cdot (\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}) = -1.
Comme ABundefined=OBundefinedOAundefined\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}, on a 2MOundefined(ABundefined)=12\overrightarrow{MO} \cdot (-\overrightarrow{AB}) = -1, donc 2OMundefinedABundefined=1-2\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{AB} = -1.

STEP 7

En divisant les deux côtés par 2-2, on obtient OMundefinedABundefined=12\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{AB} = -\frac{1}{2}.
Bingo !
C'est ce qu'on voulait démontrer.
L'ensemble (D) est donc une droite perpendiculaire à (AB)(AB).

STEP 8

On a MA2+MB2=52MA^2 + MB^2 = \frac{5}{2}.
On veut montrer que c'est équivalent à 2OM2+12AB2=522OM^2 + \frac{1}{2}AB^2 = \frac{5}{2}.

STEP 9

En utilisant la relation de Chasles et le fait que OO est le milieu de [AB][AB], on peut écrire MA2+MB2=(MOundefined+OAundefined)2+(MOundefined+OBundefined)2=2MO2+2OA2=2OM2+12AB2MA^2 + MB^2 = (\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OA})^2 + (\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OB})^2 = 2MO^2 + 2OA^2 = 2OM^2 + \frac{1}{2}AB^2.
On a utilisé le fait que AB2=4OA2AB^2 = 4OA^2 car ABCABC est équilatéral et OO est le milieu de [AB][AB].

STEP 10

Donc, MA2+MB2=52MA^2 + MB^2 = \frac{5}{2} est équivalent à 2OM2+12AB2=522OM^2 + \frac{1}{2}AB^2 = \frac{5}{2}.
Puisque AB=1AB = 1, on a 2OM2+12=522OM^2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}, ce qui simplifie à OM2=1OM^2 = 1, donc OM=1OM = 1.
L'ensemble (C) est un cercle de centre OO et de rayon 11.

STEP 11

On a 9 chiffres et 4 lettres.
On choisit 3 chiffres distincts parmi 9 et 2 lettres parmi 4 (pas forcément distinctes).

STEP 12

Le nombre de codes possibles est donc (93)3!42=987321616=84616=8064\binom{9}{3} \cdot 3! \cdot 4^2 = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 6 \cdot 16 = 84 \cdot 6 \cdot 16 = 8064.

STEP 13

Si les 3 chiffres sont pairs, on a 4 chiffres pairs (2, 4, 6, 8).
Le nombre de codes est (43)3!42=4616=384\binom{4}{3} \cdot 3! \cdot 4^2 = 4 \cdot 6 \cdot 16 = 384.

STEP 14

Si les 2 lettres sont identiques, on a 4 choix pour la lettre.
Le nombre de codes est (93)3!4=8464=2016\binom{9}{3} \cdot 3! \cdot 4 = 84 \cdot 6 \cdot 4 = 2016.

STEP 15

Si le code contient exactement deux chiffres impairs, on a (52)(41)\binom{5}{2} \cdot \binom{4}{1} choix pour les chiffres et 22 façons de les arranger.
Le nombre de codes est (52)(41)3!2!42=104316=1920\binom{5}{2} \cdot \binom{4}{1} \cdot \frac{3!}{2!} \cdot 4^2 = 10 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 16 = 1920.

STEP 16

L'ensemble (D) est une droite perpendiculaire à (AB) passant par le point MM tel que OMundefinedABundefined=12\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{AB} = -\frac{1}{2}.
L'ensemble (C) est un cercle de centre OO et de rayon 11.
Il y a 8064 codes possibles.
Si les 3 chiffres sont pairs, il y a 384 codes.
Si les 2 lettres sont identiques, il y a 2016 codes.
Si le code contient exactement deux chiffres impairs, il y a 1920 codes.

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