QuestionExercice 4: Un paquet de masse $m=10 \mathrm{~kg}$ , supposé comme un point matériel, glisse sans vitesse initiale à partir du point $A$ sur un plan incliné de hauteur $O A=h=4 m$ et de base $O B=h$ (voir figure ci-contre). Les frottements entre les surfaces en contact sont caractérisés par un coefficient cinétique $\mu_{c}=0.5$ . On prend $g=9.81 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$ .
1. Représenter et écrire les différentes forces agissant sur le paquet ;
2. Ecrire le principe fondamental de la dynamique ;
3. Projeter cette équation vectorielle seion les deux axes $X$ et $Y$ (qu'il faut définir), pour trouvel les deux équations scalaires qui régissent le mouvement du paquet;
4. En déduire les expressions de la force de frottement et de la force normale (réaction) en fonction de $m, g, \mu_{c}$ et $\alpha$ ;
5. Trouver l'expression de l'accélération a du paquet. Quelle est la nature de son mouvement? En déduire celle de sa vitesse $v(t)$ ;
6. Donner l'équation horaire $x(t)$ du pàquet ;
7. Quel est le temps nécessaire au paquet pour qu'il atteigne le point $B$ ?

Studdy Solution

STEP 1

1. Le paquet est un point matériel de masse $m = 10 \, \mathrm{kg}$ .
2. Il glisse sans vitesse initiale à partir du point $A$ .
3. Le plan incliné a une hauteur $h = 4 \, \mathrm{m}$ et une base $h = 4 \, \mathrm{m}$ .
4. Le coefficient de frottement cinétique est $\mu_c = 0.5$ .
5. L'accélération due à la gravité est $g = 9.81 \, \mathrm{m/s^2}$ .

STEP 2

1. Représenter et écrire les forces agissant sur le paquet.
2. Écrire le principe fondamental de la dynamique.
3. Projeter l'équation vectorielle selon les axes $X$ et $Y$ .
4. Déduire les expressions de la force de frottement et de la force normale.
5. Trouver l'expression de l'accélération et de la vitesse.
6. Déterminer l'équation horaire $x(t)$ .
7. Calculer le temps nécessaire pour atteindre le point $B$ .

STEP 3

Représenter les forces agissant sur le paquet : - La force de gravité $\vec{P} = m \cdot \vec{g}$ . - La force normale $\vec{N}$ perpendiculaire au plan incliné. - La force de frottement $\vec{f} = \mu_c \cdot \vec{N}$ opposée au mouvement.

STEP 4

Écrire le principe fondamental de la dynamique : $\vec{F}_{\text{résultante}} = m \cdot \vec{a}$

STEP 5

Projeter l'équation selon les axes $X$ (parallèle au plan) et $Y$ (perpendiculaire au plan) : - Axe $X$ : $m \cdot g \cdot \sin(\alpha) - \mu_c \cdot N = m \cdot a$ - Axe $Y$ : $N - m \cdot g \cdot \cos(\alpha) = 0$

STEP 6

Déduire les expressions des forces : - Force normale : $N = m \cdot g \cdot \cos(\alpha)$ - Force de frottement : $f = \mu_c \cdot m \cdot g \cdot \cos(\alpha)$

STEP 7

Trouver l'expression de l'accélération $a$ : $a = g \cdot (\sin(\alpha) - \mu_c \cdot \cos(\alpha))$
La nature du mouvement est un mouvement rectiligne uniformément accéléré.
Expression de la vitesse $v(t)$ : $v(t) = a \cdot t$

STEP 8

Déterminer l'équation horaire $x(t)$ : $x(t) = \frac{1}{2} a \cdot t^2$

STEP 9

Calculer le temps nécessaire pour atteindre le point $B$ : - Distance à parcourir sur le plan incliné : $d = \sqrt{h^2 + h^2} = \sqrt{2} \cdot h$ - Temps $t$ : $t = \sqrt{\frac{2 \cdot d}{a}}$
Le temps nécessaire pour atteindre le point $B$ est : $t = \sqrt{\frac{2 \cdot \sqrt{2} \cdot h}{g \cdot (\sin(\alpha) - \mu_c \cdot \cos(\alpha))}}$

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STEP 1

STEP 2

STEP 3

Représenter les forces agissant sur le paquet : - La force de gravité $\vec{P} = m \cdot \vec{g}$ . - La force normale $\vec{N}$ perpendiculaire au plan incliné. - La force de frottement $\vec{f} = \mu_c \cdot \vec{N}$ opposée au mouvement.

STEP 4

Écrire le principe fondamental de la dynamique : $\vec{F}_{\text{résultante}} = m \cdot \vec{a}$

STEP 5

Projeter l'équation selon les axes $X$ (parallèle au plan) et $Y$ (perpendiculaire au plan) : - Axe $X$ : $m \cdot g \cdot \sin(\alpha) - \mu_c \cdot N = m \cdot a$ - Axe $Y$ : $N - m \cdot g \cdot \cos(\alpha) = 0$

STEP 6

Déduire les expressions des forces : - Force normale : $N = m \cdot g \cdot \cos(\alpha)$ - Force de frottement : $f = \mu_c \cdot m \cdot g \cdot \cos(\alpha)$

STEP 7

Trouver l'expression de l'accélération $a$ : $a = g \cdot (\sin(\alpha) - \mu_c \cdot \cos(\alpha))$
La nature du mouvement est un mouvement rectiligne uniformément accéléré.
Expression de la vitesse $v(t)$ : $v(t) = a \cdot t$

STEP 8

Déterminer l'équation horaire $x(t)$ : $x(t) = \frac{1}{2} a \cdot t^2$

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STEP 1

STEP 2

STEP 3

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Écrire le principe fondamental de la dynamique : F⃗reˊsultante=m⋅a⃗ \vec{F}_{\text{résultante}} = m \cdot \vec{a} Freˊsultante​=m⋅a

STEP 5

STEP 6

Déduire les expressions des forces : - Force normale : N=m⋅g⋅cos⁡(α) N = m \cdot g \cdot \cos(\alpha) N=m⋅g⋅cos(α) - Force de frottement : f=μc⋅m⋅g⋅cos⁡(α) f = \mu_c \cdot m \cdot g \cdot \cos(\alpha) f=μc​⋅m⋅g⋅cos(α)

STEP 7

STEP 8

Déterminer l'équation horaire x(t) x(t) x(t) : x(t)=12a⋅t2 x(t) = \frac{1}{2} a \cdot t^2 x(t)=21​a⋅t2

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Écrire le principe fondamental de la dynamique : $\vec{F}_{\text{résultante}} = m \cdot \vec{a}$

Déduire les expressions des forces : - Force normale : $N = m \cdot g \cdot \cos(\alpha)$ - Force de frottement : $f = \mu_c \cdot m \cdot g \cdot \cos(\alpha)$

Déterminer l'équation horaire $x(t)$ : $x(t) = \frac{1}{2} a \cdot t^2$