Math / Calculus

QuestionExercice 1: Soit $f$ une fonction numérique de var iablex définie par : $f(x)=\sqrt{x^{2}}$ et Soit $\left(C_{f}\right)$ sa courbe sur un repére $(O ; \vec{i} ; \vec{j})$ 1) Donner ledomaine de définition dela fonction $f$ . 2) Etudier la parité dela fonction $f$ . 2) a-Calculer $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ . $b$ -Etudier labranche inf inie de $\left(C_{f}\right)$ au voi $\sin$ agede $+\infty$ . 4) a-Etudier la dérivabilité de f à droite de 0 . $b$ -Etudier les var iations dela fonction $f$ . 5) Tracer ( $\left.C_{f}\right)$ .

Studdy Solution

STEP 1

1. La fonction $f(x) = \sqrt{x^2}$ est définie pour les valeurs de $x$ qui rendent le radicand non-négatif.
2. La parité d'une fonction est déterminée par son comportement par rapport à l'axe des ordonnées.
3. Les limites à l'infini nous aident à comprendre le comportement asymptotique de la fonction.
4. La dérivabilité et les variations de la fonction nous renseignent sur sa continuité et ses points critiques.

STEP 2

1. Déterminer le domaine de définition de $f$ .
2. Étudier la parité de $f$ .
3. Calculer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ et étudier la branche infinie.
4. Étudier la dérivabilité de $f$ à droite de 0 et les variations de $f$ .
5. Tracer la courbe $(C_f)$ .

STEP 3

Déterminer le domaine de définition de $f(x) = \sqrt{x^2}$ :
La fonction $f(x) = \sqrt{x^2}$ est définie pour tout $x$ car $x^2$ est toujours positif ou nul pour tout $x$ .
Ainsi, le domaine de définition est $\mathbb{R}$ .

STEP 4

Étudier la parité de $f$ :
Une fonction est paire si $f(-x) = f(x)$ pour tout $x$ .
Calculons $f(-x)$ :
$f(-x) = \sqrt{(-x)^2} = \sqrt{x^2} = f(x)$
Donc, $f$ est une fonction paire.

STEP 5

Calculer $\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)$ :
$\lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{x^2} = \lim_{x \rightarrow +\infty} |x| = +\infty$
La fonction $f(x)$ tend vers $+\infty$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ .
Étudier la branche infinie de $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$ :
La courbe $(C_f)$ a une branche infinie qui tend vers $+\infty$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ .

STEP 6

Étudier la dérivabilité de $f$ à droite de 0:
La fonction $f(x) = |x|$ est dérivable partout sauf en $x = 0$ .
Étudier les variations de $f$ :
La fonction $f(x) = |x|$ est croissante sur $[0, +\infty[$ et décroissante sur $]-\infty, 0]$ .

STEP 7

Tracer la courbe $(C_f)$ :
La courbe $(C_f)$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées et ressemble à un "V" avec un sommet en $(0,0)$ .

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STEP 1

STEP 2

1. Déterminer le domaine de définition de $f$ .
2. Étudier la parité de $f$ .
3. Calculer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ et étudier la branche infinie.
4. Étudier la dérivabilité de $f$ à droite de 0 et les variations de $f$ .
5. Tracer la courbe $(C_f)$ .

STEP 3

Déterminer le domaine de définition de $f(x) = \sqrt{x^2}$ :
La fonction $f(x) = \sqrt{x^2}$ est définie pour tout $x$ car $x^2$ est toujours positif ou nul pour tout $x$ .
Ainsi, le domaine de définition est $\mathbb{R}$ .

STEP 4

Étudier la parité de $f$ :
Une fonction est paire si $f(-x) = f(x)$ pour tout $x$ .
Calculons $f(-x)$ :
$f(-x) = \sqrt{(-x)^2} = \sqrt{x^2} = f(x)$
Donc, $f$ est une fonction paire.

STEP 5

STEP 6

Étudier la dérivabilité de $f$ à droite de 0:
La fonction $f(x) = |x|$ est dérivable partout sauf en $x = 0$ .
Étudier les variations de $f$ :
La fonction $f(x) = |x|$ est croissante sur $[0, +\infty[$ et décroissante sur $]-\infty, 0]$ .

STEP 7

Tracer la courbe $(C_f)$ :
La courbe $(C_f)$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées et ressemble à un "V" avec un sommet en $(0,0)$ .

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STEP 1

STEP 2

STEP 3

Déterminer le domaine de définition de f(x)=x2 f(x) = \sqrt{x^2} f(x)=x2​:La fonction f(x)=x2 f(x) = \sqrt{x^2} f(x)=x2​ est définie pour tout x x x car x2 x^2 x2 est toujours positif ou nul pour tout x x x.Ainsi, le domaine de définition est R \mathbb{R} R.

STEP 4

Étudier la parité de f f f:Une fonction est paire si f(−x)=f(x) f(-x) = f(x) f(−x)=f(x) pour tout x x x.Calculons f(−x) f(-x) f(−x):f(−x)=(−x)2=x2=f(x) f(-x) = \sqrt{(-x)^2} = \sqrt{x^2} = f(x) f(−x)=(−x)2​=x2​=f(x)Donc, f f f est une fonction paire.

STEP 5

STEP 6

STEP 7

Tracer la courbe (Cf)(C_f)(Cf​):La courbe (Cf)(C_f)(Cf​) est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées et ressemble à un "V" avec un sommet en (0,0) (0,0) (0,0).

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Déterminer le domaine de définition de $f(x) = \sqrt{x^2}$ :
La fonction $f(x) = \sqrt{x^2}$ est définie pour tout $x$ car $x^2$ est toujours positif ou nul pour tout $x$ .
Ainsi, le domaine de définition est $\mathbb{R}$ .

Étudier la parité de $f$ :
Une fonction est paire si $f(-x) = f(x)$ pour tout $x$ .
Calculons $f(-x)$ :
$f(-x) = \sqrt{(-x)^2} = \sqrt{x^2} = f(x)$
Donc, $f$ est une fonction paire.

Tracer la courbe $(C_f)$ :
La courbe $(C_f)$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées et ressemble à un "V" avec un sommet en $(0,0)$ .