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Math  /  Geometry

QuestionExemple a) Donnez une paramétrisation du cône z=x2+y2z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}

Studdy Solution

STEP 1

1. Le cône est défini par l'équation z=x2+y2 z = \sqrt{x^2 + y^2} .
2. Nous cherchons une paramétrisation en termes de deux paramètres, souvent r r et θ \theta .

STEP 2

1. Identifier une méthode de paramétrisation pour le cône.
2. Écrire les équations paramétriques pour x x , y y , et z z .
3. Vérifier que la paramétrisation satisfait l'équation du cône.

STEP 3

Identifier une méthode de paramétrisation pour le cône. Utilisons les coordonnées cylindriques, où x=rcos⁡(θ) x = r \cos(\theta) , y=rsin⁡(θ) y = r \sin(\theta) , et z=r z = r .

STEP 4

Écrire les équations paramétriques pour x x , y y , et z z :
x(r,θ)=rcos⁡(θ) x(r, \theta) = r \cos(\theta) y(r,θ)=rsin⁡(θ) y(r, \theta) = r \sin(\theta) z(r,θ)=r z(r, \theta) = r

STEP 5

Vérifier que la paramétrisation satisfait l'équation du cône:
z=x2+y2 z = \sqrt{x^2 + y^2} r=(rcos⁡(θ))2+(rsin⁡(θ))2 r = \sqrt{(r \cos(\theta))^2 + (r \sin(\theta))^2} r=r2(cos⁡2(θ)+sin⁡2(θ)) r = \sqrt{r^2 (\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta))} r=r2=r r = \sqrt{r^2} = r
La paramétrisation est correcte car elle satisfait l'équation du cône.
La paramétrisation du cône est:
(x(r,θ),y(r,θ),z(r,θ))=(rcos⁡(θ),rsin⁡(θ),r) (x(r, \theta), y(r, \theta), z(r, \theta)) = (r \cos(\theta), r \sin(\theta), r)

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