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Math  /  Calculus

QuestionÉvaluer les intégrales définies suivantes. a) ∫π4π2sin⁡θ⋅ecos⁡θdθ\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \sin \theta \cdot e^{\cos \theta} d \theta b) ∫05∣x−3∣dx\int_{0}^{5}|x-3| d x

Studdy Solution

STEP 1

1. Pour l'intégrale a), nous utiliserons une substitution pour simplifier l'intégrale.
2. Pour l'intégrale b), nous devons considérer la fonction valeur absolue et diviser l'intégrale en deux parties où l'expression à l'intérieur de la valeur absolue change de signe.

STEP 2

1. Résoudre l'intégrale a) par substitution.
2. Résoudre l'intégrale b) en divisant l'intervalle en deux parties.

STEP 3

Pour l'intégrale a), nous utilisons la substitution u=cos⁡θ u = \cos \theta . Cela implique que du=−sin⁡θ dθ du = -\sin \theta \, d\theta .
∫π4π2sin⁡θ⋅ecos⁡θ dθ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \sin \theta \cdot e^{\cos \theta} \, d\theta
Changeons les bornes d'intégration en termes de u u : - Quand θ=π4 \theta = \frac{\pi}{4} , u=cos⁡(π4)=22 u = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} . - Quand θ=π2 \theta = \frac{\pi}{2} , u=cos⁡(π2)=0 u = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 .
L'intégrale devient :
−∫220eu du -\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{0} e^u \, du

STEP 4

Inverser les bornes pour enlever le signe négatif :
∫022eu du \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} e^u \, du
Intégrer :
[eu]022=e22−e0 \left[ e^u \right]_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} = e^{\frac{\sqrt{2}}{2}} - e^0
=e22−1 = e^{\frac{\sqrt{2}}{2}} - 1

STEP 5

Pour l'intégrale b), nous devons considérer le point où x−3=0 x - 3 = 0 , c'est-à-dire x=3 x = 3 .
Divisons l'intégrale en deux parties :
∫05∣x−3∣ dx=∫03(3−x) dx+∫35(x−3) dx \int_{0}^{5} |x-3| \, dx = \int_{0}^{3} (3-x) \, dx + \int_{3}^{5} (x-3) \, dx

STEP 6

Calculons chaque partie séparément.
Pour la première partie :
∫03(3−x) dx=[3x−x22]03 \int_{0}^{3} (3-x) \, dx = \left[ 3x - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{3}
=(3(3)−322)−(3(0)−022) = \left( 3(3) - \frac{3^2}{2} \right) - \left( 3(0) - \frac{0^2}{2} \right)
=9−92 = 9 - \frac{9}{2}
=182−92 = \frac{18}{2} - \frac{9}{2}
=92 = \frac{9}{2}

STEP 7

Pour la deuxième partie :
∫35(x−3) dx=[x22−3x]35 \int_{3}^{5} (x-3) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} - 3x \right]_{3}^{5}
=(522−3(5))−(322−3(3)) = \left( \frac{5^2}{2} - 3(5) \right) - \left( \frac{3^2}{2} - 3(3) \right)
=(252−15)−(92−9) = \left( \frac{25}{2} - 15 \right) - \left( \frac{9}{2} - 9 \right)
=(252−302)−(92−182) = \left( \frac{25}{2} - \frac{30}{2} \right) - \left( \frac{9}{2} - \frac{18}{2} \right)
=(−52)−(−92) = \left( -\frac{5}{2} \right) - \left( -\frac{9}{2} \right)
=42 = \frac{4}{2}
=2 = 2

STEP 8

Additionner les deux résultats pour obtenir l'intégrale totale :
92+2=92+42=132 \frac{9}{2} + 2 = \frac{9}{2} + \frac{4}{2} = \frac{13}{2}
Les solutions des intégrales sont : a) e22−1 e^{\frac{\sqrt{2}}{2}} - 1 b) 132 \frac{13}{2}

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