Math / Calculus

QuestionESercizio 1. Rispondere al più a uno dei seguenti quesiti. i) Calcolare, al variare del parametro $\alpha \in[0,+\infty)$ , il limite per $n \rightarrow+\infty$ della successione $\left(a_{n}\right)_{n}$ tale che $a_{n}=\frac{\sin \frac{\sqrt{6}}{n}}{\exp \left(\frac{2 \log n}{n^{\frac{3}{2}}}\right)-1}\left[1-\cos \left(\frac{1}{n^{\alpha}}\right)\right], \quad n \geq 1$

Studdy Solution

STEP 1

Cosa ci chiede questo esercizio? Dobbiamo calcolare il limite di una successione un po' complicata, che coinvolge seno, coseno, esponenziale e logaritmo, per $n$ che tende all'infinito, e vedere come questo limite cambia a seconda del valore di un parametro $\alpha$ . Attenzione! Non farti spaventare dalla complessità dell'espressione!
Sfrutta gli sviluppi di Taylor per semplificare le cose.
Ricorda anche le proprietà dei limiti e fai attenzione a come $\alpha$ influenza il risultato finale.

STEP 2

1. Sviluppi di Taylor
2. Semplificazione
3. Calcolo del limite

STEP 3

Ricordiamoci che lo sviluppo di Taylor per $\sin(x)$ centrato in $0$ è $\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \dots$ .
Nel nostro caso, $x = \frac{\sqrt{6}}{n}$ , quindi $\sin\left(\frac{\sqrt{6}}{n}\right) \sim \frac{\sqrt{6}}{n}$ per $n$ grande.
Usiamo il simbolo $\sim$ per indicare che stiamo considerando solo il termine dominante.

STEP 4

L'esponenziale ha sviluppo $\exp(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots$ .
Quindi $\exp\left(\frac{2\log n}{n^{\frac{3}{2}}}\right) - 1 \sim \frac{2\log n}{n^{\frac{3}{2}}}$ per $n$ grande.

STEP 5

Lo sviluppo di Taylor per $1 - \cos(x)$ centrato in $0$ è $1 - \cos(x) = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4!} + \dots$ .
Quindi, per $x = \frac{1}{n^\alpha}$ , abbiamo $1 - \cos\left(\frac{1}{n^\alpha}\right) \sim \frac{1}{2n^{2\alpha}}$ per $n$ grande.

STEP 6

Ora sostituiamo gli sviluppi di Taylor nell'espressione originale di $a_n$ : $a_n \sim \frac{\frac{\sqrt{6}}{n}}{\frac{2\log n}{n^{\frac{3}{2}}}} \cdot \frac{1}{2n^{2\alpha}} = \frac{\sqrt{6} \cdot n^{\frac{3}{2}}}{2n \cdot 2\log n} \cdot \frac{1}{n^{2\alpha}}$

STEP 7

Semplifichiamo ulteriormente l'espressione: $a_n \sim \frac{\sqrt{6}}{4} \cdot \frac{n^{\frac{1}{2}}}{\log n} \cdot \frac{1}{n^{2\alpha}} = \frac{\sqrt{6}}{4} \cdot \frac{n^{\frac{1}{2} - 2\alpha}}{\log n}$

STEP 8

Il limite di $a_n$ per $n \to +\infty$ dipende dall'esponente di $n$ , che è $\frac{1}{2} - 2\alpha$ .

STEP 9

Se $\frac{1}{2} - 2\alpha > 0$ , ovvero $\alpha < \frac{1}{4}$ , il numeratore cresce più velocemente del logaritmo al denominatore, quindi il limite tende a $+\infty$ .

STEP 10

Se $\frac{1}{2} - 2\alpha = 0$ , ovvero $\alpha = \frac{1}{4}$ , l'espressione diventa $\frac{\sqrt{6}}{4\log n}$ , e il limite tende a $0$ .

STEP 11

Se $\frac{1}{2} - 2\alpha < 0$ , ovvero $\alpha > \frac{1}{4}$ , il numeratore tende a $0$ e il denominatore tende a $+\infty$ , quindi il limite tende a $0$ .

STEP 12

Il limite di $a_n$ per $n \to +\infty$ è: * $+\infty$ se $\alpha < \frac{1}{4}$ * $0$ se $\alpha \geq \frac{1}{4}$

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STEP 1

STEP 2

1. Sviluppi di Taylor
2. Semplificazione
3. Calcolo del limite

STEP 3

STEP 4

L'esponenziale ha sviluppo $\exp(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots$ .
Quindi $\exp\left(\frac{2\log n}{n^{\frac{3}{2}}}\right) - 1 \sim \frac{2\log n}{n^{\frac{3}{2}}}$ per $n$ grande.

STEP 5

Lo sviluppo di Taylor per $1 - \cos(x)$ centrato in $0$ è $1 - \cos(x) = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4!} + \dots$ .
Quindi, per $x = \frac{1}{n^\alpha}$ , abbiamo $1 - \cos\left(\frac{1}{n^\alpha}\right) \sim \frac{1}{2n^{2\alpha}}$ per $n$ grande.

STEP 6

Ora sostituiamo gli sviluppi di Taylor nell'espressione originale di $a_n$ : $a_n \sim \frac{\frac{\sqrt{6}}{n}}{\frac{2\log n}{n^{\frac{3}{2}}}} \cdot \frac{1}{2n^{2\alpha}} = \frac{\sqrt{6} \cdot n^{\frac{3}{2}}}{2n \cdot 2\log n} \cdot \frac{1}{n^{2\alpha}}$

STEP 7

Semplifichiamo ulteriormente l'espressione: $a_n \sim \frac{\sqrt{6}}{4} \cdot \frac{n^{\frac{1}{2}}}{\log n} \cdot \frac{1}{n^{2\alpha}} = \frac{\sqrt{6}}{4} \cdot \frac{n^{\frac{1}{2} - 2\alpha}}{\log n}$

STEP 8

Il limite di $a_n$ per $n \to +\infty$ dipende dall'esponente di $n$ , che è $\frac{1}{2} - 2\alpha$ .

STEP 9

Se $\frac{1}{2} - 2\alpha > 0$ , ovvero $\alpha < \frac{1}{4}$ , il numeratore cresce più velocemente del logaritmo al denominatore, quindi il limite tende a $+\infty$ .

STEP 10

Se $\frac{1}{2} - 2\alpha = 0$ , ovvero $\alpha = \frac{1}{4}$ , l'espressione diventa $\frac{\sqrt{6}}{4\log n}$ , e il limite tende a $0$ .

STEP 11

Se $\frac{1}{2} - 2\alpha < 0$ , ovvero $\alpha > \frac{1}{4}$ , il numeratore tende a $0$ e il denominatore tende a $+\infty$ , quindi il limite tende a $0$ .

STEP 12

Il limite di $a_n$ per $n \to +\infty$ è: * $+\infty$ se $\alpha < \frac{1}{4}$ * $0$ se $\alpha \geq \frac{1}{4}$

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STEP 3

STEP 4

STEP 5

STEP 6

STEP 7

STEP 8

Il **limite** di ana_nan​ per n→+∞n \to +\inftyn→+∞ dipende dall'esponente di nnn, che è 12−2α\frac{1}{2} - 2\alpha21​−2α.

STEP 9

Se 12−2α>0\frac{1}{2} - 2\alpha > 021​−2α>0, ovvero α<14\alpha < \frac{1}{4}α<41​, il numeratore cresce più velocemente del logaritmo al denominatore, quindi il limite tende a +∞+\infty+∞.

STEP 10

Se 12−2α=0\frac{1}{2} - 2\alpha = 021​−2α=0, ovvero α=14\alpha = \frac{1}{4}α=41​, l'espressione diventa 64log⁡n\frac{\sqrt{6}}{4\log n}4logn6​​, e il limite tende a 000.

STEP 11

Se 12−2α<0\frac{1}{2} - 2\alpha < 021​−2α<0, ovvero α>14\alpha > \frac{1}{4}α>41​, il numeratore tende a 000 e il denominatore tende a +∞+\infty+∞, quindi il limite tende a 000.

STEP 12

Il limite di ana_nan​ per n→+∞n \to +\inftyn→+∞ è: * +∞+\infty+∞ se α<14\alpha < \frac{1}{4}α<41​ * 000 se α≥14\alpha \geq \frac{1}{4}α≥41​

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1. Sviluppi di Taylor
2. Semplificazione
3. Calcolo del limite

Il limite di $a_n$ per $n \to +\infty$ dipende dall'esponente di $n$ , che è $\frac{1}{2} - 2\alpha$ .

Se $\frac{1}{2} - 2\alpha > 0$ , ovvero $\alpha < \frac{1}{4}$ , il numeratore cresce più velocemente del logaritmo al denominatore, quindi il limite tende a $+\infty$ .

Se $\frac{1}{2} - 2\alpha = 0$ , ovvero $\alpha = \frac{1}{4}$ , l'espressione diventa $\frac{\sqrt{6}}{4\log n}$ , e il limite tende a $0$ .

Se $\frac{1}{2} - 2\alpha < 0$ , ovvero $\alpha > \frac{1}{4}$ , il numeratore tende a $0$ e il denominatore tende a $+\infty$ , quindi il limite tende a $0$ .

Il limite di $a_n$ per $n \to +\infty$ è: * $+\infty$ se $\alpha < \frac{1}{4}$ * $0$ se $\alpha \geq \frac{1}{4}$