QuestionDraw and determine the properties of quadratic functions: - Opening - Symmetry - Vertex - Stretch
1. Determine the properties and draw the graphs of the following functions: a) $f(x)=\frac{1}{2} x^{2}+2 x$ b) $f(x)=x^{2}+x-2$ c) $f(x)=2 x^{2}-4 x+8$ d) $f(x)=\frac{1}{4} x^{2}-3 x$

Studdy Solution

STEP 1

Annahmen
1. Die gegebenen Funktionen sind quadratische Funktionen der Form $f(x) = ax^2 + bx + c$ .
2. Die Öffnung der Parabel wird durch das Vorzeichen von $a$ bestimmt.
3. Die Symmetrieachse einer Parabel ist immer die vertikale Linie, die durch den Scheitelpunkt verläuft.
4. Der Scheitelpunkt der Parabel kann durch die Formel $x = -\frac{b}{2a}$ gefunden werden.
5. Die Streckung oder Stauchung der Parabel wird durch den Wert von $a$ bestimmt.

STEP 2

Beginnen wir mit der Funktion a) $f(x)=\frac{1}{2} x^{2}+2 x$ .
Zuerst identifizieren wir die Koeffizienten: $a=\frac{1}{2}$ , $b=2$ und $c=0$ (da kein konstanter Term vorhanden ist).

STEP 3

Die Öffnung der Parabel wird durch das Vorzeichen von $a$ bestimmt. Da $a=\frac{1}{2}$ positiv ist, öffnet sich die Parabel nach oben.

STEP 4

Um den Scheitelpunkt zu finden, verwenden wir die Formel $x = -\frac{b}{2a}$ .
$x = -\frac{2}{2 \cdot \frac{1}{2}} = -2$

STEP 5

Um den y-Wert des Scheitelpunkts zu finden, setzen wir den x-Wert in die Funktion ein:
$f(-2) = \frac{1}{2} (-2)^{2} + 2 \cdot (-2) = 2 - 4 = -2$
Der Scheitelpunkt ist also $(-2, -2)$ .

STEP 6

Die Streckung der Parabel wird durch den Wert von $a$ bestimmt. Da $a=\frac{1}{2}$ ist, ist die Parabel gestreckt im Vergleich zur Standardparabel $y=x^2$ .

STEP 7

Die Symmetrieachse ist die vertikale Linie durch den Scheitelpunkt, also $x = -2$ .

STEP 8

Jetzt zeichnen wir die Parabel mit den gefundenen Eigenschaften.

STEP 9

Als Nächstes betrachten wir die Funktion b) $f(x)=x^{2}+x-2$ .
Die Koeffizienten sind: $a=1$ , $b=1$ und $c=-2$ .

STEP 10

Da $a=1$ positiv ist, öffnet sich die Parabel nach oben.

STEP 11

Wir finden den Scheitelpunkt mit der Formel $x = -\frac{b}{2a}$ .
$x = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -\frac{1}{2}$

STEP 12

Um den y-Wert des Scheitelpunkts zu finden, setzen wir den x-Wert in die Funktion ein:
$f\left(-\frac{1}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}\right)^{2} + \left(-\frac{1}{2}\right) - 2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 2 = -\frac{9}{4}$
Der Scheitelpunkt ist also $\left(-\frac{1}{2}, -\frac{9}{4}\right)$ .

STEP 13

Die Streckung der Parabel ist normal, da $a=1$ .

STEP 14

Die Symmetrieachse ist die vertikale Linie durch den Scheitelpunkt, also $x = -\frac{1}{2}$ .

STEP 15

Jetzt zeichnen wir die Parabel mit den gefundenen Eigenschaften.

STEP 16

Betrachten wir die Funktion c) $f(x)=2 x^{2}-4 x+8$ .
Die Koeffizienten sind: $a=2$ , $b=-4$ und $c=8$ .

STEP 17

Da $a=2$ positiv ist, öffnet sich die Parabel nach oben.

STEP 18

Wir finden den Scheitelpunkt mit der Formel $x = -\frac{b}{2a}$ .
$x = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = 1$

STEP 19

Um den y-Wert des Scheitelpunkts zu finden, setzen wir den x-Wert in die Funktion ein:
$f(1) = 2 \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1 + 8 = 2 - 4 + 8 = 6$
Der Scheitelpunkt ist also $(1, 6)$ .

STEP 20

Die Streckung der Parabel ist stärker als normal, da $a=2$ .

STEP 21

Die Symmetrieachse ist die vertikale Linie durch den Scheitelpunkt, also $x = 1$ .

STEP 22

Jetzt zeichnen wir die Parabel mit den gefundenen Eigenschaften.

STEP 23

Schließlich betrachten wir die Funktion d) $f(x)=\frac{1}{4} x^{2}-3 x$ .
Die Koeffizienten sind: $a=\frac{1}{4}$ , $b=-3$ und $c=0$ (da kein konstanter Term vorhanden ist).

STEP 24

Da $a=\frac{1}{4}$ positiv ist, öffnet sich die Parabel nach oben.

STEP 25

Wir finden den Scheitelpunkt mit der Formel $x = -\frac{b}{2a}$ .
$x = -\frac{-3}{2 \cdot \frac{1}{4}} = 6$

STEP 26

Um den y-Wert des Scheitelpunkts zu finden, setzen wir den x-Wert in die Funktion ein:
$f(6) = \frac{1}{4} \cdot 6^{2} - 3 \cdot 6 = \frac{1}{4} \cdot 36 - 18 = 9 - 18 = -9$
Der Scheitelpunkt ist also $(6, -9)$ .

STEP 27

Die Streckung der Parabel ist gestreckt, da $a=\frac{1}{4}$ .

STEP 28

Die Symmetrieachse ist die vertikale Linie durch den Scheitelpunkt, also $x = 6$ .

STEP 29

Jetzt zeichnen wir die Parabel mit den gefundenen Eigenschaften.

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Studdy Solution

STEP 1

STEP 2

Beginnen wir mit der Funktion a) f(x)=12x2+2xf(x)=\frac{1}{2} x^{2}+2 xf(x)=21​x2+2x.Zuerst identifizieren wir die Koeffizienten: a=12a=\frac{1}{2}a=21​, b=2b=2b=2 und c=0c=0c=0 (da kein konstanter Term vorhanden ist).

STEP 3

Die Öffnung der Parabel wird durch das Vorzeichen von aaa bestimmt. Da a=12a=\frac{1}{2}a=21​ positiv ist, öffnet sich die Parabel nach oben.

STEP 4

Um den Scheitelpunkt zu finden, verwenden wir die Formel x=−b2ax = -\frac{b}{2a}x=−2ab​.x=−22⋅12=−2x = -\frac{2}{2 \cdot \frac{1}{2}} = -2x=−2⋅21​2​=−2

STEP 5

Um den y-Wert des Scheitelpunkts zu finden, setzen wir den x-Wert in die Funktion ein:f(−2)=12(−2)2+2⋅(−2)=2−4=−2f(-2) = \frac{1}{2} (-2)^{2} + 2 \cdot (-2) = 2 - 4 = -2f(−2)=21​(−2)2+2⋅(−2)=2−4=−2Der Scheitelpunkt ist also (−2,−2)(-2, -2)(−2,−2).

STEP 6

Die Streckung der Parabel wird durch den Wert von aaa bestimmt. Da a=12a=\frac{1}{2}a=21​ ist, ist die Parabel gestreckt im Vergleich zur Standardparabel y=x2y=x^2y=x2.

STEP 7

Die Symmetrieachse ist die vertikale Linie durch den Scheitelpunkt, also x=−2x = -2x=−2.

STEP 8

Jetzt zeichnen wir die Parabel mit den gefundenen Eigenschaften.

STEP 9

Als Nächstes betrachten wir die Funktion b) f(x)=x2+x−2f(x)=x^{2}+x-2f(x)=x2+x−2.Die Koeffizienten sind: a=1a=1a=1, b=1b=1b=1 und c=−2c=-2c=−2.

STEP 10

Da a=1a=1a=1 positiv ist, öffnet sich die Parabel nach oben.

STEP 11

Wir finden den Scheitelpunkt mit der Formel x=−b2ax = -\frac{b}{2a}x=−2ab​.x=−12⋅1=−12x = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -\frac{1}{2}x=−2⋅11​=−21​

STEP 12

STEP 13

Die Streckung der Parabel ist normal, da a=1a=1a=1.

STEP 14

Die Symmetrieachse ist die vertikale Linie durch den Scheitelpunkt, also x=−12x = -\frac{1}{2}x=−21​.

STEP 15

Jetzt zeichnen wir die Parabel mit den gefundenen Eigenschaften.

STEP 16

Betrachten wir die Funktion c) f(x)=2x2−4x+8f(x)=2 x^{2}-4 x+8f(x)=2x2−4x+8.Die Koeffizienten sind: a=2a=2a=2, b=−4b=-4b=−4 und c=8c=8c=8.

STEP 17

Da a=2a=2a=2 positiv ist, öffnet sich die Parabel nach oben.

STEP 18

Wir finden den Scheitelpunkt mit der Formel x=−b2ax = -\frac{b}{2a}x=−2ab​.x=−−42⋅2=1x = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = 1x=−2⋅2−4​=1

STEP 19

Um den y-Wert des Scheitelpunkts zu finden, setzen wir den x-Wert in die Funktion ein:f(1)=2⋅12−4⋅1+8=2−4+8=6f(1) = 2 \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1 + 8 = 2 - 4 + 8 = 6f(1)=2⋅12−4⋅1+8=2−4+8=6Der Scheitelpunkt ist also (1,6)(1, 6)(1,6).

STEP 20

Die Streckung der Parabel ist stärker als normal, da a=2a=2a=2.

STEP 21

Die Symmetrieachse ist die vertikale Linie durch den Scheitelpunkt, also x=1x = 1x=1.

STEP 22

Jetzt zeichnen wir die Parabel mit den gefundenen Eigenschaften.

STEP 23

Schließlich betrachten wir die Funktion d) f(x)=14x2−3xf(x)=\frac{1}{4} x^{2}-3 xf(x)=41​x2−3x.Die Koeffizienten sind: a=14a=\frac{1}{4}a=41​, b=−3b=-3b=−3 und c=0c=0c=0 (da kein konstanter Term vorhanden ist).

STEP 24

Da a=14a=\frac{1}{4}a=41​ positiv ist, öffnet sich die Parabel nach oben.

STEP 25

Wir finden den Scheitelpunkt mit der Formel x=−b2ax = -\frac{b}{2a}x=−2ab​.x=−−32⋅14=6x = -\frac{-3}{2 \cdot \frac{1}{4}} = 6x=−2⋅41​−3​=6

STEP 26

STEP 27

Die Streckung der Parabel ist gestreckt, da a=14a=\frac{1}{4}a=41​.

STEP 28

Die Symmetrieachse ist die vertikale Linie durch den Scheitelpunkt, also x=6x = 6x=6.

STEP 29

Jetzt zeichnen wir die Parabel mit den gefundenen Eigenschaften.

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Beginnen wir mit der Funktion a) $f(x)=\frac{1}{2} x^{2}+2 x$ .
Zuerst identifizieren wir die Koeffizienten: $a=\frac{1}{2}$ , $b=2$ und $c=0$ (da kein konstanter Term vorhanden ist).

Die Öffnung der Parabel wird durch das Vorzeichen von $a$ bestimmt. Da $a=\frac{1}{2}$ positiv ist, öffnet sich die Parabel nach oben.

Um den Scheitelpunkt zu finden, verwenden wir die Formel $x = -\frac{b}{2a}$ .
$x = -\frac{2}{2 \cdot \frac{1}{2}} = -2$

Um den y-Wert des Scheitelpunkts zu finden, setzen wir den x-Wert in die Funktion ein:
$f(-2) = \frac{1}{2} (-2)^{2} + 2 \cdot (-2) = 2 - 4 = -2$
Der Scheitelpunkt ist also $(-2, -2)$ .

Die Streckung der Parabel wird durch den Wert von $a$ bestimmt. Da $a=\frac{1}{2}$ ist, ist die Parabel gestreckt im Vergleich zur Standardparabel $y=x^2$ .

Die Symmetrieachse ist die vertikale Linie durch den Scheitelpunkt, also $x = -2$ .

Als Nächstes betrachten wir die Funktion b) $f(x)=x^{2}+x-2$ .
Die Koeffizienten sind: $a=1$ , $b=1$ und $c=-2$ .

Da $a=1$ positiv ist, öffnet sich die Parabel nach oben.

Wir finden den Scheitelpunkt mit der Formel $x = -\frac{b}{2a}$ .
$x = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -\frac{1}{2}$

Die Streckung der Parabel ist normal, da $a=1$ .

Die Symmetrieachse ist die vertikale Linie durch den Scheitelpunkt, also $x = -\frac{1}{2}$ .

Betrachten wir die Funktion c) $f(x)=2 x^{2}-4 x+8$ .
Die Koeffizienten sind: $a=2$ , $b=-4$ und $c=8$ .

Da $a=2$ positiv ist, öffnet sich die Parabel nach oben.

Wir finden den Scheitelpunkt mit der Formel $x = -\frac{b}{2a}$ .
$x = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = 1$

Um den y-Wert des Scheitelpunkts zu finden, setzen wir den x-Wert in die Funktion ein:
$f(1) = 2 \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1 + 8 = 2 - 4 + 8 = 6$
Der Scheitelpunkt ist also $(1, 6)$ .

Die Streckung der Parabel ist stärker als normal, da $a=2$ .

Die Symmetrieachse ist die vertikale Linie durch den Scheitelpunkt, also $x = 1$ .

Schließlich betrachten wir die Funktion d) $f(x)=\frac{1}{4} x^{2}-3 x$ .
Die Koeffizienten sind: $a=\frac{1}{4}$ , $b=-3$ und $c=0$ (da kein konstanter Term vorhanden ist).

Da $a=\frac{1}{4}$ positiv ist, öffnet sich die Parabel nach oben.

Wir finden den Scheitelpunkt mit der Formel $x = -\frac{b}{2a}$ .
$x = -\frac{-3}{2 \cdot \frac{1}{4}} = 6$

Die Streckung der Parabel ist gestreckt, da $a=\frac{1}{4}$ .

Die Symmetrieachse ist die vertikale Linie durch den Scheitelpunkt, also $x = 6$ .