Math / Calculus

QuestionDifferentiate. $\begin{array}{c} y=\frac{\ln x}{x^{5}} \\ \frac{d y}{d x}=\square \end{array}$ $\square$

Studdy Solution

STEP 1

Bu ne soruyor? Bu problem, $\ln x$ fonksiyonunun $x^5$ fonksiyonuna bölünmesiyle oluşan fonksiyonun türevini bulmamızı istiyor. Dikkat! Bölümün kuralını doğru bir şekilde uygulamalıyız ve $\ln x$ ile $x^5$ fonksiyonlarının türevlerini doğru hesaplamalıyız.
Logaritmik fonksiyonların türevini hesaplarken dikkatli olalım!

STEP 2

1. Bölüm Kuralını Uygula
2. Türevleri Hesapla
3. Sonucu Basitleştir

STEP 3

$y = \frac{f(x)}{g(x)}$ şeklindeki bir fonksiyonun türevi bölüm kuralı ile bulunur: $\frac{dy}{dx} = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$ .
Burada $f(x) = \ln x$ ve $g(x) = x^5$ .

STEP 4

$\ln x$ fonksiyonunun türevi $\frac{1}{x}$ 'tir.
Yani, $f'(x) = \frac{1}{x}$ .

STEP 5

$x^5$ fonksiyonunun türevi $5x^4$ 'tür.
Yani, $g'(x) = 5x^4$ .

STEP 6

Şimdi bulduğumuz türevleri bölüm kuralı formülünde yerine koyalım: $\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^5 - \ln x \cdot 5x^4}{(x^5)^2}$

STEP 7

Kesri sadeleştirelim.
Paydaki ilk terimde $x$ ile $x^5$ sadeleşir ve $x^4$ kalır.
Paydadaki $(x^5)^2$ ise $x^{10}$ 'a eşittir: $\frac{dy}{dx} = \frac{x^4 - 5x^4 \cdot \ln x}{x^{10}}$

STEP 8

Paydaki her iki terimde de $x^4$ ortak çarpanı var.
Bunu paydadaki $x^{10}$ ile sadeleştirelim: $\frac{dy}{dx} = \frac{x^4(1 - 5\ln x)}{x^{10}} = \frac{1 - 5\ln x}{x^6}$

STEP 9

Türevi $\frac{1 - 5\ln x}{x^6}$ 'dir.

Was this helpful?

QuestionDifferentiate. $\begin{array}{c} y=\frac{\ln x}{x^{5}} \\ \frac{d y}{d x}=\square \end{array}$ $\square$

Studdy Solution

STEP 1

STEP 2

1. Bölüm Kuralını Uygula
2. Türevleri Hesapla
3. Sonucu Basitleştir

STEP 3

$y = \frac{f(x)}{g(x)}$ şeklindeki bir fonksiyonun türevi bölüm kuralı ile bulunur: $\frac{dy}{dx} = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$ .
Burada $f(x) = \ln x$ ve $g(x) = x^5$ .

STEP 4

$\ln x$ fonksiyonunun türevi $\frac{1}{x}$ 'tir.
Yani, $f'(x) = \frac{1}{x}$ .

STEP 5

$x^5$ fonksiyonunun türevi $5x^4$ 'tür.
Yani, $g'(x) = 5x^4$ .

STEP 6

Şimdi bulduğumuz türevleri bölüm kuralı formülünde yerine koyalım: $\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^5 - \ln x \cdot 5x^4}{(x^5)^2}$

STEP 7

Kesri sadeleştirelim.
Paydaki ilk terimde $x$ ile $x^5$ sadeleşir ve $x^4$ kalır.
Paydadaki $(x^5)^2$ ise $x^{10}$ 'a eşittir: $\frac{dy}{dx} = \frac{x^4 - 5x^4 \cdot \ln x}{x^{10}}$

STEP 8

Paydaki her iki terimde de $x^4$ ortak çarpanı var.
Bunu paydadaki $x^{10}$ ile sadeleştirelim: $\frac{dy}{dx} = \frac{x^4(1 - 5\ln x)}{x^{10}} = \frac{1 - 5\ln x}{x^6}$

STEP 9

Türevi $\frac{1 - 5\ln x}{x^6}$ 'dir.

Get Studdy

Studdy solves anything!

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

QuestionDifferentiate. y=ln⁡xx5dydx=□\begin{array}{c} y=\frac{\ln x}{x^{5}} \\ \frac{d y}{d x}=\square \end{array}y=x5lnx​dxdy​=□​ □\square□

Studdy Solution

STEP 1

STEP 2

1. Bölüm Kuralını Uygula2. Türevleri Hesapla3. Sonucu Basitleştir

STEP 3

STEP 4

ln⁡x\ln xlnx fonksiyonunun türevi 1x\frac{1}{x}x1​'tir.Yani, f′(x)=1xf'(x) = \frac{1}{x}f′(x)=x1​.

STEP 5

x5x^5x5 fonksiyonunun türevi 5x45x^45x4'tür.Yani, g′(x)=5x4g'(x) = 5x^4g′(x)=5x4.

STEP 6

Şimdi bulduğumuz türevleri bölüm kuralı formülünde yerine koyalım: dydx=1x⋅x5−ln⁡x⋅5x4(x5)2 \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^5 - \ln x \cdot 5x^4}{(x^5)^2} dxdy​=(x5)2x1​⋅x5−lnx⋅5x4​

STEP 7

Kesri sadeleştirelim.Paydaki ilk terimde xxx ile x5x^5x5 sadeleşir ve x4x^4x4 kalır.Paydadaki (x5)2 (x^5)^2 (x5)2 ise x10x^{10}x10'a eşittir: dydx=x4−5x4⋅ln⁡xx10 \frac{dy}{dx} = \frac{x^4 - 5x^4 \cdot \ln x}{x^{10}} dxdy​=x10x4−5x4⋅lnx​

STEP 8

Paydaki her iki terimde de x4x^4x4 ortak çarpanı var.Bunu paydadaki x10x^{10}x10 ile sadeleştirelim: dydx=x4(1−5ln⁡x)x10=1−5ln⁡xx6 \frac{dy}{dx} = \frac{x^4(1 - 5\ln x)}{x^{10}} = \frac{1 - 5\ln x}{x^6} dxdy​=x10x4(1−5lnx)​=x61−5lnx​

STEP 9

Türevi 1−5ln⁡xx6\frac{1 - 5\ln x}{x^6}x61−5lnx​'dir.

Get Studdy

Studdy solves anything!

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

QuestionDifferentiate. $\begin{array}{c} y=\frac{\ln x}{x^{5}} \\ \frac{d y}{d x}=\square \end{array}$ $\square$

1. Bölüm Kuralını Uygula
2. Türevleri Hesapla
3. Sonucu Basitleştir

$\ln x$ fonksiyonunun türevi $\frac{1}{x}$ 'tir.
Yani, $f'(x) = \frac{1}{x}$ .

$x^5$ fonksiyonunun türevi $5x^4$ 'tür.
Yani, $g'(x) = 5x^4$ .

Şimdi bulduğumuz türevleri bölüm kuralı formülünde yerine koyalım: $\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^5 - \ln x \cdot 5x^4}{(x^5)^2}$

Kesri sadeleştirelim.
Paydaki ilk terimde $x$ ile $x^5$ sadeleşir ve $x^4$ kalır.
Paydadaki $(x^5)^2$ ise $x^{10}$ 'a eşittir: $\frac{dy}{dx} = \frac{x^4 - 5x^4 \cdot \ln x}{x^{10}}$

Paydaki her iki terimde de $x^4$ ortak çarpanı var.
Bunu paydadaki $x^{10}$ ile sadeleştirelim: $\frac{dy}{dx} = \frac{x^4(1 - 5\ln x)}{x^{10}} = \frac{1 - 5\ln x}{x^6}$

Türevi $\frac{1 - 5\ln x}{x^6}$ 'dir.