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QuestionDeux repères AA et BB sont inaccessibles. Calculer la distance AA et BB entre ces deux points à partir des relevés suivants. Vos calculs doivent être faits au mètre près. mPP‾′=450 m m∠AP′P=69∘m∠APP′=96∘m∠BPP′=66∘m∠BP′P′=103∘\begin{aligned} \mathrm{m} \overline{P P}^{\prime} & =450 \mathrm{~m} \\ \mathrm{~m} \angle A P^{\prime} P & =69^{\circ} \\ \mathrm{m} \angle A P P^{\prime} & =96^{\circ} \\ \mathrm{m} \angle B P P^{\prime} & =66^{\circ} \\ \mathrm{m} \angle B P^{\prime} P^{\prime} & =103^{\circ} \end{aligned}

Studdy Solution

STEP 1

1. Nous avons deux points inaccessibles A et B.
2. Nous avons deux points de référence P et P' qui sont accessibles.
3. La distance entre P et P' est connue (450 m).
4. Nous connaissons les angles entre les lignes reliant ces points.
5. Nous devons calculer la distance AB au mètre près.

STEP 2

1. Dessiner un schéma de la situation.
2. Calculer les distances AP et AP' en utilisant la loi des sinus dans le triangle APP'.
3. Calculer les distances BP et BP' en utilisant la loi des sinus dans le triangle BPP'.
4. Utiliser la loi des cosinus pour calculer la distance AB.
5. Arrondir le résultat au mètre près.

STEP 3

Dessinons un schéma représentant la situation :
``` A / \ / \ / \ / \ / \ P-----------P' \ / \ / \ / \ / \ / B ```
Sur ce schéma, nous avons : - PP' = 450 m - ∠AP'P = 69° - ∠APP' = 96° - ∠BPP' = 66° - ∠BP'P = 103°

STEP 4

Commençons par calculer AP et AP' en utilisant la loi des sinus dans le triangle APP'.
Dans le triangle APP', nous connaissons : - PP' = 450 m - ∠AP'P = 69° - ∠APP' = 96°
Nous pouvons calculer le troisième angle : ∠PAP′=180°−69°−96°=15°∠PAP' = 180° - 69° - 96° = 15°
Appliquons la loi des sinus :
APsin⁡69°=AP′sin⁡96°=450sin⁡15°\frac{AP}{\sin 69°} = \frac{AP'}{\sin 96°} = \frac{450}{\sin 15°}
Calculons AP : AP=450×sin⁡69°sin⁡15°≈1726,76 mAP = \frac{450 \times \sin 69°}{\sin 15°} \approx 1726,76 \text{ m}
Calculons AP' : AP′=450×sin⁡96°sin⁡15°≈1839,62 mAP' = \frac{450 \times \sin 96°}{\sin 15°} \approx 1839,62 \text{ m}

STEP 5

Maintenant, calculons BP et BP' en utilisant la loi des sinus dans le triangle BPP'.
Dans le triangle BPP', nous connaissons : - PP' = 450 m - ∠BPP' = 66° - ∠BP'P = 103°
Calculons le troisième angle : ∠PBP′=180°−66°−103°=11°∠PBP' = 180° - 66° - 103° = 11°
Appliquons la loi des sinus :
BPsin⁡103°=BP′sin⁡66°=450sin⁡11°\frac{BP}{\sin 103°} = \frac{BP'}{\sin 66°} = \frac{450}{\sin 11°}
Calculons BP : BP=450×sin⁡103°sin⁡11°≈2279,76 mBP = \frac{450 \times \sin 103°}{\sin 11°} \approx 2279,76 \text{ m}
Calculons BP' : BP′=450×sin⁡66°sin⁡11°≈1729,62 mBP' = \frac{450 \times \sin 66°}{\sin 11°} \approx 1729,62 \text{ m}

STEP 6

Maintenant que nous avons les longueurs AP, AP', BP et BP', nous pouvons utiliser la loi des cosinus pour calculer AB dans le triangle ABP.
La loi des cosinus s'écrit : AB2=AP2+BP2−2(AP)(BP)cos⁡(∠APB)AB^2 = AP^2 + BP^2 - 2(AP)(BP)\cos(∠APB)
Nous devons d'abord calculer l'angle ∠APB : ∠APB=∠APP′+∠BPP′=96°+66°=162°∠APB = ∠APP' + ∠BPP' = 96° + 66° = 162°
Maintenant, appliquons la loi des cosinus :
AB2=1726,762+2279,762−2(1726,76)(2279,76)cos⁡(162°)AB^2 = 1726,76^2 + 2279,76^2 - 2(1726,76)(2279,76)\cos(162°)
AB2=2981693,7376+5197066,5376+7869429,9097AB^2 = 2981693,7376 + 5197066,5376 + 7869429,9097
AB2=16048190,1849AB^2 = 16048190,1849
AB=16048190,1849≈4005,77 mAB = \sqrt{16048190,1849} \approx 4005,77 \text{ m}

STEP 7

Arrondissons le résultat au mètre près :
AB≈4006 mAB \approx 4006 \text{ m}
La distance entre les points A et B est donc de 4006 mètres.

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