Math / Calculus

QuestionDetermination de tangentes Pour les exercices 665 à G2\ $, déterminez une équation de la tangente à la courbe représentative de$ f $au point d'abscisse$ a$.
67 数 $f(x)=\frac{x+3}{1-2 x} ; a=-1$ .

Studdy Solution

STEP 1

Qu'est-ce que ça demande ? On cherche l'équation de la tangente à la courbe de la fonction $f(x) = \frac{x+3}{1-2x}$ au point où $x = -1$ . Attention ! Il ne faut pas confondre la valeur de la fonction $f(a)$ et la valeur de sa dérivée $f'(a)$ . $f(a)$ est l'ordonnée du point, et $f'(a)$ est la pente de la tangente en ce point.

STEP 2

1. Calculer $f(a)$
2. Calculer $f'(x)$
3. Calculer $f'(a)$
4. Déterminer l'équation de la tangente

STEP 3

On remplace $x$ par $a=-1$ dans l'expression de $f(x)$ .
C'est important car on cherche le point de la courbe où $x$ vaut $-1$ .

STEP 4

$f(-1) = \frac{-1+3}{1-2 \cdot (-1)} = \frac{2}{1+2} = \frac{2}{3}$ Donc, l'ordonnée du point de tangence est $\frac{2}{3}$ .
Super !

STEP 5

On dérive $f(x)$ par rapport à $x$ .
On utilise la formule de la dérivée d'un quotient : $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ .
Ici, $u(x) = x+3$ et $v(x) = 1-2x$ , donc $u'(x) = 1$ et $v'(x) = -2$ .
C'est parti !

STEP 6

$f'(x) = \frac{1 \cdot (1-2x) - (x+3) \cdot (-2)}{(1-2x)^2} = \frac{1-2x+2x+6}{(1-2x)^2} = \frac{7}{(1-2x)^2}$ Voilà, la dérivée est calculée !

STEP 7

On remplace $x$ par $a=-1$ dans l'expression de $f'(x)$ qu'on vient de trouver.
Cela nous donnera la pente de la tangente au point d'abscisse $-1$ .

STEP 8

$f'(-1) = \frac{7}{(1-2 \cdot (-1))^2} = \frac{7}{(1+2)^2} = \frac{7}{3^2} = \frac{7}{9}$ La pente de notre tangente est donc $\frac{7}{9}$ .

STEP 9

L'équation d'une tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ est donnée par : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ .
On connaît maintenant toutes les valeurs nécessaires ! $a=-1$ , $f(a) = f(-1) = \frac{2}{3}$ et $f'(a) = f'(-1) = \frac{7}{9}$ .

STEP 10

$y = \frac{7}{9}(x - (-1)) + \frac{2}{3} = \frac{7}{9}(x+1) + \frac{2}{3} = \frac{7}{9}x + \frac{7}{9} + \frac{6}{9} = \frac{7}{9}x + \frac{13}{9}$ Magnifique !

STEP 11

L'équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a=-1$ est $y = \frac{7}{9}x + \frac{13}{9}$ .

Was this helpful?

QuestionDetermination de tangentes Pour les exercices 665 à G2\ $, déterminez une équation de la tangente à la courbe représentative de$ f $au point d'abscisse$ a$.
67 数 $f(x)=\frac{x+3}{1-2 x} ; a=-1$ .

Studdy Solution

STEP 1

STEP 2

1. Calculer $f(a)$
2. Calculer $f'(x)$
3. Calculer $f'(a)$
4. Déterminer l'équation de la tangente

STEP 3

On remplace $x$ par $a=-1$ dans l'expression de $f(x)$ .
C'est important car on cherche le point de la courbe où $x$ vaut $-1$ .

STEP 4

$f(-1) = \frac{-1+3}{1-2 \cdot (-1)} = \frac{2}{1+2} = \frac{2}{3}$ Donc, l'ordonnée du point de tangence est $\frac{2}{3}$ .
Super !

STEP 5

On dérive $f(x)$ par rapport à $x$ .
On utilise la formule de la dérivée d'un quotient : $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ .
Ici, $u(x) = x+3$ et $v(x) = 1-2x$ , donc $u'(x) = 1$ et $v'(x) = -2$ .
C'est parti !

STEP 6

$f'(x) = \frac{1 \cdot (1-2x) - (x+3) \cdot (-2)}{(1-2x)^2} = \frac{1-2x+2x+6}{(1-2x)^2} = \frac{7}{(1-2x)^2}$ Voilà, la dérivée est calculée !

STEP 7

On remplace $x$ par $a=-1$ dans l'expression de $f'(x)$ qu'on vient de trouver.
Cela nous donnera la pente de la tangente au point d'abscisse $-1$ .

STEP 8

$f'(-1) = \frac{7}{(1-2 \cdot (-1))^2} = \frac{7}{(1+2)^2} = \frac{7}{3^2} = \frac{7}{9}$ La pente de notre tangente est donc $\frac{7}{9}$ .

STEP 9

L'équation d'une tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ est donnée par : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ .
On connaît maintenant toutes les valeurs nécessaires ! $a=-1$ , $f(a) = f(-1) = \frac{2}{3}$ et $f'(a) = f'(-1) = \frac{7}{9}$ .

STEP 10

$y = \frac{7}{9}(x - (-1)) + \frac{2}{3} = \frac{7}{9}(x+1) + \frac{2}{3} = \frac{7}{9}x + \frac{7}{9} + \frac{6}{9} = \frac{7}{9}x + \frac{13}{9}$ Magnifique !

STEP 11

L'équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a=-1$ est $y = \frac{7}{9}x + \frac{13}{9}$ .

Get Studdy

Studdy solves anything!

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

Studdy Solution

STEP 1

STEP 2

1. Calculer f(a)f(a)f(a)2. Calculer f′(x)f'(x)f′(x)3. Calculer f′(a)f'(a)f′(a)4. Déterminer l'équation de la tangente

STEP 3

On **remplace** xxx par a=−1a=-1a=−1 dans l'expression de f(x)f(x)f(x).C'est important car on cherche le point de la courbe où xxx vaut −1-1−1.

STEP 4

f(−1)=−1+31−2⋅(−1)=21+2=23 f(-1) = \frac{-1+3}{1-2 \cdot (-1)} = \frac{2}{1+2} = \frac{2}{3} f(−1)=1−2⋅(−1)−1+3​=1+22​=32​ Donc, l'ordonnée du point de tangence est 23\frac{2}{3}32​.Super !

STEP 5

STEP 6

STEP 7

On **remplace** xxx par a=−1a=-1a=−1 dans l'expression de f′(x)f'(x)f′(x) qu'on vient de trouver.Cela nous donnera la **pente** de la tangente au point d'abscisse −1-1−1.

STEP 8

f′(−1)=7(1−2⋅(−1))2=7(1+2)2=732=79 f'(-1) = \frac{7}{(1-2 \cdot (-1))^2} = \frac{7}{(1+2)^2} = \frac{7}{3^2} = \frac{7}{9} f′(−1)=(1−2⋅(−1))27​=(1+2)27​=327​=97​ La **pente** de notre tangente est donc 79\frac{7}{9}97​.

STEP 9

STEP 10

y=79(x−(−1))+23=79(x+1)+23=79x+79+69=79x+139 y = \frac{7}{9}(x - (-1)) + \frac{2}{3} = \frac{7}{9}(x+1) + \frac{2}{3} = \frac{7}{9}x + \frac{7}{9} + \frac{6}{9} = \frac{7}{9}x + \frac{13}{9} y=97​(x−(−1))+32​=97​(x+1)+32​=97​x+97​+96​=97​x+913​ Magnifique !

STEP 11

L'équation de la tangente à la courbe représentative de fff au point d'abscisse a=−1a=-1a=−1 est y=79x+139y = \frac{7}{9}x + \frac{13}{9}y=97​x+913​.

Get Studdy

Studdy solves anything!

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

1. Calculer $f(a)$
2. Calculer $f'(x)$
3. Calculer $f'(a)$
4. Déterminer l'équation de la tangente

On remplace $x$ par $a=-1$ dans l'expression de $f(x)$ .
C'est important car on cherche le point de la courbe où $x$ vaut $-1$ .

$f(-1) = \frac{-1+3}{1-2 \cdot (-1)} = \frac{2}{1+2} = \frac{2}{3}$ Donc, l'ordonnée du point de tangence est $\frac{2}{3}$ .
Super !

On remplace $x$ par $a=-1$ dans l'expression de $f'(x)$ qu'on vient de trouver.
Cela nous donnera la pente de la tangente au point d'abscisse $-1$ .

$f'(-1) = \frac{7}{(1-2 \cdot (-1))^2} = \frac{7}{(1+2)^2} = \frac{7}{3^2} = \frac{7}{9}$ La pente de notre tangente est donc $\frac{7}{9}$ .

$y = \frac{7}{9}(x - (-1)) + \frac{2}{3} = \frac{7}{9}(x+1) + \frac{2}{3} = \frac{7}{9}x + \frac{7}{9} + \frac{6}{9} = \frac{7}{9}x + \frac{13}{9}$ Magnifique !

L'équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a=-1$ est $y = \frac{7}{9}x + \frac{13}{9}$ .