Math

QuestionBestimme die Funktionsgleichung f(x)=caxf(x)=c \cdot a^{x} für Punkte PP und QQ. Finde xx für f(x)=256f(x)=256.
Situationen: Wachstumsfaktor und prozentuale Veränderung für:
1. 2,6 kg auf 3,3 kg
2. nach 34\frac{3}{4} Tag: 1/8
3. von 2400 € auf 850 €
4. 2002: 4,2\%, 2015: 2,2\%
5. 150 um 6 Uhr, 1500 um 18:30
6. alle 10 Jahre Verdopplung

Finde xx für: a) f(x)=2xf(x)=2^{x}, y=64y=64 b) f(x)=0,5xf(x)=0,5^{x}, y=11024y=\frac{1}{1024} c) f(x)=10xf(x)=10^{x}, y=0,1y=0,1 d) f(x)=5xf(x)=5^{x}, y=1125y=\frac{1}{125} e) f(x)=9xf(x)=9^{x}, y=3y=3 f) f(x)=8xf(x)=8^{x}, y=1y=1 g) f(x)=16xf(x)=16^{x}, y=0,25y=0,25 h) f(x)=(13)xf(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}, y=27y=27

Studdy Solution

STEP 1

Annahmen1. Die Funktion ist eine Exponentialfunktion der Form f(x)=caxf(x)=c \cdot a^{x} . Die Punkte $$ und $Q$ liegen auf dem Graphen der Funktion3. Wir suchen die Funktionsgleichung und den Wert von $x$, für den die Funktion den Wert256 annimmt

STEP 2

Zuerst setzen wir die Koordinaten der Punkte $$ und $Q$ in die Funktionsgleichung ein und lösen die daraus resultierenden Gleichungen nach den Parametern $c$ und $a$ auf.
Fürunkt (04)(0 \mid4) erhalten wirf(0)=ca0=4f(0) = c \cdot a^{0} =4Fürunkt Q(40,5)Q(4 \mid0,5) erhalten wirf(4)=ca4=0,5f(4) = c \cdot a^{4} =0,5

STEP 3

Da a0=1a^{0} =1 für alle a0a \neq0, können wir die Gleichung fürunkt vereinfachen und nach $c$ auflösenc =$$

STEP 4

Jetzt setzen wir c=4c=4 in die Gleichung fürunkt QQ ein und lösen nach aa auf4a4=0,4 \cdot a^{4} =0,

STEP 5

Um aa zu isolieren, teilen wir beide Seiten der Gleichung durch4 und nehmen die vierte Wurzela=0,544a = \sqrt[4]{\frac{0,5}{4}}

STEP 6

Berechnen Sie den Wert von aaa=0,544=0,5a = \sqrt[4]{\frac{0,5}{4}} =0,5

STEP 7

Jetzt haben wir die Werte für cc und aa, also können wir die Funktionsgleichung schreibenf(x)=4(0,5)xf(x) =4 \cdot (0,5)^{x}

STEP 8

Um den Wert von xx zu finden, für den die Funktion den Wert256 annimmt, setzen wir f(x)=256f(x) =256 und lösen die Gleichung nach xx auf4(0,5)x=2564 \cdot (0,5)^{x} =256

STEP 9

Um xx zu isolieren, teilen wir beide Seiten der Gleichung durch4 und nehmen den Logarithmus zur Basis,5x=log,5(2564)x = \log_{,5}\left(\frac{256}{4}\right)

STEP 10

Berechnen Sie den Wert von xxx=log0,5(2564)=4x = \log_{0,5}\left(\frac{256}{4}\right) = -4Die Funktion hat den Wert256 für x=4x=-4.

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