Math / Geometry

QuestionConsidérons les triangles rectangles JFS, FSN, SQN et QNP illustrés ci-dessous.
Au dixième de degré près, quelle est la mesure de l'angle $S N Q$ ?

Studdy Solution

STEP 1

Qu'est-ce qu'on nous demande ? Trouver l'angle $\angle SNQ$ en utilisant les informations sur les triangles $\triangle FSN$ et $\triangle QNP$ . Attention ! Il est facile de se perdre avec tous ces triangles !
On doit se concentrer sur les informations utiles pour trouver $\angle SNQ$ .

STEP 2

1. Trouver $FN$
2. Trouver $NQ$
3. Trouver $\angle SNQ$

STEP 3

On a l'angle $\angle SNF$ qui vaut $90^\circ$ et $\angle NFS$ qui vaut $64^\circ$ .
On sait que $FS = 38$ cm.
On cherche $FN$ .
On peut utiliser la tangente !

STEP 4

Rappelez-vous, la tangente d'un angle dans un triangle rectangle est le côté opposé divisé par le côté adjacent.
Donc, $\tan(\angle NFS) = \frac{FN}{FS}$ .

STEP 5

On remplace avec les valeurs : $\tan(64^\circ) = \frac{FN}{38}$ .

STEP 6

Pour isoler $FN$ , on multiplie les deux côtés par 38 : $FN = 38 \cdot \tan(64^\circ)$ .

STEP 7

Avec une calculatrice, on trouve $FN \approx 38 \cdot 2.05 = 77.9$ cm.
Super !

STEP 8

On a l'angle $\angle NPQ$ qui vaut $77^\circ$ et $\angle NQP$ qui vaut $90^\circ$ .
On sait que $QP = 93$ cm.
On cherche $NQ$ .
On peut utiliser le cosinus !

STEP 9

Rappelez-vous, le cosinus d'un angle dans un triangle rectangle est le côté adjacent divisé par l'hypoténuse.
Donc, $\cos(\angle NPQ) = \frac{NQ}{QP}$ .

STEP 10

On remplace avec les valeurs : $\cos(77^\circ) = \frac{NQ}{93}$ .

STEP 11

Pour isoler $NQ$ , on multiplie les deux côtés par 93 : $NQ = 93 \cdot \cos(77^\circ)$ .

STEP 12

Avec une calculatrice, on trouve $NQ \approx 93 \cdot 0.225 = 20.925$ cm.
Génial !

STEP 13

On sait maintenant que $FN \approx 77.9$ cm et $NQ \approx 20.925$ cm.
Puisque $FN = SN$ et $NQ = SQ$ , on a $SN \approx 77.9$ cm et $SQ \approx 20.925$ cm.
On peut utiliser la tangente pour trouver $\angle SNQ$ .

STEP 14

On a $\tan(\angle SNQ) = \frac{SQ}{SN}$ .

STEP 15

On remplace avec les valeurs : $\tan(\angle SNQ) \approx \frac{20.925}{77.9} \approx 0.2686$ .

STEP 16

Pour trouver $\angle SNQ$ , on utilise l'arctangente : $\angle SNQ = \arctan(0.2686)$ .

STEP 17

Avec une calculatrice, on trouve $\angle SNQ \approx 15.0^\circ$ .
Magnifique !

STEP 18

L'angle $\angle SNQ$ mesure approximativement $15.0^\circ$ .

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