Math  /  Geometry

QuestionConsideremos la recta y=4x9y=4 x-9 Hallar la ecuación de la recta que es paralela a esta recta y atraviesa el punto (2,4)(-2,-4). Hallar la ecuación de la recta que es perpendicular a esta recta y atraviesa el punto (2,4)(-2,-4). Observe que la calculadora gráfica de ALEKS será útil para verificar la respuesta.
Ecuación de recta paralela:
Ecuación de recta perpendicular: \square

Studdy Solution

STEP 1

¿Qué nos están preguntando? Nos piden encontrar dos rectas: una paralela y otra perpendicular a y=4x9y = 4x - 9, y que ambas pasen por el punto (2,4)(-2, -4). ¡Cuidado! Recuerda que las rectas paralelas tienen la misma pendiente, mientras que las rectas perpendiculares tienen pendientes que son recíprocas negativas la una de la otra. ¡No las confundas!

STEP 2

1. Encontrar la pendiente de la recta dada.
2. Hallar la ecuación de la recta paralela.
3. Hallar la ecuación de la recta perpendicular.

STEP 3

La recta dada está en la forma pendiente-intersección, y=mx+by = mx + b, donde mm es la **pendiente** y bb es la **intersección con el eje y**.

STEP 4

En nuestra ecuación, y=4x9y = 4x - 9, la **pendiente** es m=4m = \mathbf{4}. ¡La tenemos!

STEP 5

Una recta paralela tendrá la **misma pendiente**, m=4m = \mathbf{4}. ¡Genial!

STEP 6

Sabemos que la recta paralela pasa por el punto (2,4)(-2, -4).
Usaremos la **forma punto-pendiente** de una recta: yy1=m(xx1)y - y_1 = m(x - x_1), donde (x1,y1)(x_1, y_1) es el punto dado y mm es la pendiente.

STEP 7

Sustituimos nuestros valores: y(4)=4(x(2))y - (-4) = 4(x - (-2)). ¡Casi llegamos!

STEP 8

Simplificamos: y+4=4(x+2)y + 4 = 4(x + 2).

STEP 9

Distribuimos el 4: y+4=4x+8y + 4 = 4x + 8.

STEP 10

Restamos 4 a ambos lados para despejar yy: y=4x+84y = 4x + 8 - 4, lo que nos da y=4x+4y = 4x + 4. ¡Esta es la ecuación de la recta paralela!

STEP 11

La pendiente de una recta perpendicular es el **recíproco negativo** de la pendiente original.
La pendiente original es 44, así que el recíproco negativo es 14-\frac{1}{4}.

STEP 12

Usamos la **forma punto-pendiente** con el punto (2,4)(-2, -4) y la pendiente 14-\frac{1}{4}: y(4)=14(x(2))y - (-4) = -\frac{1}{4}(x - (-2)).

STEP 13

Simplificamos: y+4=14(x+2)y + 4 = -\frac{1}{4}(x + 2).

STEP 14

Distribuimos 14-\frac{1}{4}: y+4=14x12y + 4 = -\frac{1}{4}x - \frac{1}{2}.

STEP 15

Restamos 4 a ambos lados: y=14x124y = -\frac{1}{4}x - \frac{1}{2} - 4.

STEP 16

Para restar las fracciones, encontramos un denominador común: y=14x1282y = -\frac{1}{4}x - \frac{1}{2} - \frac{8}{2}.

STEP 17

Simplificamos: y=14x92y = -\frac{1}{4}x - \frac{9}{2}. ¡Esta es la ecuación de la recta perpendicular!

STEP 18

Ecuación de recta paralela: y=4x+4y = 4x + 4 Ecuación de recta perpendicular: y=14x92y = -\frac{1}{4}x - \frac{9}{2}

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