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Math  /  Calculus

QuestionBerechnen Sie die Stammfunktion der Funktion f(x)=8(2x+1)3 f(x) = \frac{8}{(2x+1)^3} .

Studdy Solution

STEP 1

1. Wir haben die Funktion f(x)=8(2x+1)3 f(x) = \frac{8}{(2x+1)^3} .
2. Wir müssen die Stammfunktion dieser Funktion berechnen.

STEP 2

1. Identifizieren Sie die geeignete Substitution.
2. Führen Sie die Substitution durch.
3. Integrieren Sie die resultierende Funktion.
4. Rücksubstitution, um zur ursprünglichen Variablen zurückzukehren.
5. Fügen Sie die Integrationskonstante hinzu.

STEP 3

Identifizieren Sie eine geeignete Substitution. Da der Nenner (2x+1)3 (2x+1)^3 ist, verwenden wir die Substitution:
u=2x+1 u = 2x + 1

STEP 4

Berechnen Sie die Ableitung von u u nach x x :
dudx=2 \frac{du}{dx} = 2
Daraus folgt:
dx=du2 dx = \frac{du}{2}

STEP 5

Ersetzen Sie in der Funktion:
f(x)=8u3 f(x) = \frac{8}{u^3}
Der Ausdruck für dx dx wird ebenfalls ersetzt:
∫8u3⋅du2 \int \frac{8}{u^3} \cdot \frac{du}{2}
Vereinfachen:
∫4u3 du \int \frac{4}{u^3} \, du

STEP 6

Integrieren Sie die Funktion:
∫4u3 du=4∫u−3 du \int \frac{4}{u^3} \, du = 4 \int u^{-3} \, du
Verwenden Sie die Potenzregel für Integration:
4(u−2−2)=−2u−2 4 \left( \frac{u^{-2}}{-2} \right) = -2u^{-2}
=−2u2 = -\frac{2}{u^2}

STEP 7

Rücksubstitution, um zur ursprünglichen Variablen zurückzukehren:
u=2x+1 u = 2x + 1
−2(2x+1)2 -\frac{2}{(2x+1)^2}

STEP 8

Fügen Sie die Integrationskonstante C C hinzu:
−2(2x+1)2+C -\frac{2}{(2x+1)^2} + C
Die Stammfunktion der gegebenen Funktion ist:
−2(2x+1)2+C \boxed{-\frac{2}{(2x+1)^2} + C}

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