Math Snap

STEP 1

1. لدينا الدالة $f(x) = ax^3 - 3x^2 + bx + c$.
2. يوجد حد أدنى محلي عند $x = -5$.
3. يوجد حد أقصى محلي عند $x = \frac{-1}{2}$.
4. نقطة الانعطاف عند $x = \frac{1}{4}$.

STEP 2

1. إيجاد المشتقة الأولى $f'(x)$ وتحديد النقاط الحرجة.
2. استخدام المعلومات عن النقاط الحرجة لتكوين المعادلات.
3. إيجاد المشتقة الثانية $f''(x)$ وتحديد نقطة الانعطاف.
4. استخدام المعلومات عن نقطة الانعطاف لتكوين معادلة إضافية.
5. حل النظام المكون من المعادلات لإيجاد $a, b, c$.

STEP 3

إيجاد المشتقة الأولى للدالة $f(x)$:
$$f'(x) = 3ax^2 - 6x + b$$

STEP 4

للنقاط الحرجة، يجب أن تكون $f'(x) = 0$.
للنقطة $x = -5$:
$$f'(-5) = 3a(-5)^2 - 6(-5) + b = 0$$

STEP 5

تبسيط المعادلة:
$$75a + 30 + b = 0$$ $$75a + b = -30$$

STEP 6

للنقطة $x = \frac{-1}{2}$:
$$f'\left(\frac{-1}{2}\right) = 3a\left(\frac{-1}{2}\right)^2 - 6\left(\frac{-1}{2}\right) + b = 0$$

STEP 7

تبسيط المعادلة:
$$\frac{3a}{4} + 3 + b = 0$$ $$\frac{3a}{4} + b = -3$$

STEP 8

إيجاد المشتقة الثانية للدالة $f(x)$:
$$f''(x) = 6ax - 6$$

STEP 9

لنقطة الانعطاف $x = \frac{1}{4}$، يجب أن تكون $f''(x) = 0$.
$$f''\left(\frac{1}{4}\right) = 6a\left(\frac{1}{4}\right) - 6 = 0$$

STEP 10

تبسيط المعادلة:
$$\frac{3a}{2} - 6 = 0$$ $$3a = 12$$ $$a = 4$$

STEP 11

استخدام قيمة $a = 4$ في المعادلات السابقة:
من المعادلة $75a + b = -30$:
$$75(4) + b = -30$$ $$300 + b = -30$$ $$b = -330$$

استخدام قيمة $a = 4$ في المعادلة الثانية:
$$\frac{3(4)}{4} + b = -3$$ $$3 + b = -3$$ $$b = -6$$ لاحظ أن هناك تناقض في القيم المحسوبة لـ $b$، مما يشير إلى وجود خطأ في الحسابات السابقة. يجب مراجعة الخطوات السابقة لتصحيح الخطأ.