Math  /  Algebra

QuestionAufgaben 1 Ein Bestand wird durch exponentielles Wachstum beschrieben. Geben Sie den Anfangsbestand an und beurteilen Sie, ob es sich um eine Zunahme oder eine Abnahme handelt. a) f(t)=0,8e2tf(t)=0,8 \cdot e^{2 t} b) f(t)=5e0,99tf(t)=5 \cdot e^{-0,99 t} c) f(t)=e13t5f(t)=e^{-\frac{1}{3} t} \cdot 5 d) f(t)=29e0,02tf(t)=29 \cdot e^{0,02 t}

Studdy Solution

STEP 1

Was wird gefragt? Wir sollen den **Anfangsbestand** bestimmen und herausfinden, ob der Bestand **zunimmt oder abnimmt**. Vorsicht! Nicht tt mit dem Anfangsbestand verwechseln! tt ist die Zeit, und wir suchen den Bestand zum Zeitpunkt t=0t = 0.

STEP 2

1. Anfangsbestand bestimmen
2. Zunahme oder Abnahme beurteilen

STEP 3

Um den **Anfangsbestand** zu finden, setzen wir t=0t = 0 in die Formel ein.
Das ist so, weil bei t=0t = 0 die Zeit gerade erst anfängt!

STEP 4

f(0)=0,8e20=0,8e0=0,81=0,8f(0) = 0,8 \cdot e^{2 \cdot 0} = 0,8 \cdot e^0 = 0,8 \cdot 1 = 0,8 Der **Anfangsbestand** ist also 0,8\textbf{0,8}.

STEP 5

f(0)=5e0,990=5e0=51=5f(0) = 5 \cdot e^{-0,99 \cdot 0} = 5 \cdot e^0 = 5 \cdot 1 = 5 Hier ist der **Anfangsbestand** 5\textbf{5}.

STEP 6

f(0)=e1305=e05=15=5f(0) = e^{-\frac{1}{3} \cdot 0} \cdot 5 = e^0 \cdot 5 = 1 \cdot 5 = 5 Der **Anfangsbestand** beträgt 5\textbf{5}.

STEP 7

f(0)=29e0,020=29e0=291=29f(0) = 29 \cdot e^{0,02 \cdot 0} = 29 \cdot e^0 = 29 \cdot 1 = 29 Und hier haben wir einen **Anfangsbestand** von 29\textbf{29}.

STEP 8

Schauen wir uns den Exponenten an!
Ist er **positiv**, haben wir **Zunahme**.
Ist er **negativ**, haben wir **Abnahme**.

STEP 9

Der Exponent ist 2t2t.
Da tt für die Zeit steht und immer größer wird, ist 2t2t **positiv**.
Also: **Zunahme**!

STEP 10

Der Exponent ist 0,99t-0,99t.
Da tt positiv ist, ist 0,99t-0,99t **negativ**.
Also: **Abnahme**!

STEP 11

Der Exponent ist 13t-\frac{1}{3}t.
Weil tt positiv ist, ist 13t-\frac{1}{3}t **negativ**.
Also: **Abnahme**!

STEP 12

Der Exponent ist 0,02t0,02t.
Da tt positiv ist, ist 0,02t0,02t **positiv**.
Also: **Zunahme**!

STEP 13

a) Anfangsbestand: 0,8\textbf{0,8}, **Zunahme** b) Anfangsbestand: 5\textbf{5}, **Abnahme** c) Anfangsbestand: 5\textbf{5}, **Abnahme** d) Anfangsbestand: 29\textbf{29}, **Zunahme**

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