Math / Algebra

QuestionAufgaben
1. Der Kammerton ist der gemeinsame Ton (sinusförmige Schallschwingung), auf den eine Gruppe von Instrumenten eingestimmt wird. Als Standard-Kammerton wurde der Ton mit der Frequenz $\mathrm{f}=440 \mathrm{~Hz}$ (Kammerton $\mathrm{a}^{1}$ ) festgelegt. Welche Wellenlänge gehört zum Kammerton $\mathrm{a}^{1}$ , wenn sich Schall mit der Geschwindigkeit von etwa $340 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ausbreitet?
2. Schall oberhalb von 20 kHz heißt Ultraschall, Schall unterhalb von 16 Hz heißt Infraschall. Welche Wellenlängen gehören zu Ultra- bzw. Infraschall? ( $\mathrm{c}_{\text {Schall }} \approx 340 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ )
3. Für die Ausbreitungsgeschwindigkeit eines Tsunamis gilt $c=\sqrt{g \cdot h}$ , wobei $g$ die Erdbeschleunigung und $h$ die Wassertiefe angibt. Für die Wellenlänge gilt näherungsweise $\lambda \approx h \cdot 2 \pi$ . a) Welche Ausbreitungsgeschwindigkeit und welche Wellenlänge hat ein Tsunami im Pazifik mit einer mittleren Meerestiefe von ca. 6 km . Wie lange benötigt damit ein Tsunami von Japan nach San Francisco (ca. 8000 km )? b) Wie verändern sich die Ausbreitungsgeschwindigkeit und die Wellenlänge, wenn die Wassertiefe von 6 km auf 500 m sinkt.

Studdy Solution

STEP 1

1. Die Schallgeschwindigkeit in Luft beträgt $c = 340 \, \text{m/s}$ .
2. Frequenz $f$ des Kammertons $a^1$ ist $440 \, \text{Hz}$ .
3. Ultraschall hat eine Frequenz oberhalb von $20 \, \text{kHz}$ .
4. Infraschall hat eine Frequenz unterhalb von $16 \, \text{Hz}$ .
5. Die Erdbeschleunigung $g$ beträgt etwa $9.81 \, \text{m/s}^2$ .
6. Die mittlere Wassertiefe im Pazifik beträgt $6000 \, \text{m}$ .
7. Die Entfernung von Japan nach San Francisco beträgt $8000 \, \text{km}$ .

STEP 2

1. Bestimme die Wellenlänge des Kammertons $a^1$ .
2. Bestimme die Wellenlängen für Ultraschall und Infraschall.
3. Berechne die Ausbreitungsgeschwindigkeit und Wellenlänge eines Tsunamis bei einer Wassertiefe von $6000 \, \text{m}$ .
4. Bestimme die Zeit, die ein Tsunami von Japan nach San Francisco benötigt.
5. Analysiere die Veränderungen der Ausbreitungsgeschwindigkeit und Wellenlänge, wenn die Wassertiefe von $6000 \, \text{m}$ auf $500 \, \text{m}$ sinkt.

STEP 3

Berechne die Wellenlänge $\lambda$ des Kammertons $a^1$ mit der Formel $\lambda = \frac{c}{f}$ .
$\lambda = \frac{340 \, \text{m/s}}{440 \, \text{Hz}}$

STEP 4

Führe die Division durch, um $\lambda$ zu bestimmen.
$\lambda = \frac{340}{440} \, \text{m} = 0.7727 \, \text{m}$

STEP 5

Berechne die Wellenlänge $\lambda_{\text{Ultraschall}}$ für Ultraschall mit $f = 20 \, \text{kHz}$ .
$\lambda_{\text{Ultraschall}} = \frac{c}{20 \, \text{kHz}} = \frac{340 \, \text{m/s}}{20000 \, \text{Hz}}$

STEP 6

Führe die Division durch, um $\lambda_{\text{Ultraschall}}$ zu bestimmen.
$\lambda_{\text{Ultraschall}} = \frac{340}{20000} \, \text{m} = 0.017 \, \text{m}$

STEP 7

Berechne die Wellenlänge $\lambda_{\text{Infraschall}}$ für Infraschall mit $f = 16 \, \text{Hz}$ .
$\lambda_{\text{Infraschall}} = \frac{c}{16 \, \text{Hz}} = \frac{340 \, \text{m/s}}{16 \, \text{Hz}}$

STEP 8

Führe die Division durch, um $\lambda_{\text{Infraschall}}$ zu bestimmen.
$\lambda_{\text{Infraschall}} = \frac{340}{16} \, \text{m} = 21.25 \, \text{m}$

STEP 9

Berechne die Ausbreitungsgeschwindigkeit $c_{\text{Tsunami}}$ eines Tsunamis bei einer Wassertiefe von $6000 \, \text{m}$ mit der Formel $c = \sqrt{g \cdot h}$ .
$c_{\text{Tsunami}} = \sqrt{9.81 \, \text{m/s}^2 \cdot 6000 \, \text{m}}$

STEP 10

Führe die Berechnung der Quadratwurzel durch, um $c_{\text{Tsunami}}$ zu bestimmen.
$c_{\text{Tsunami}} = \sqrt{58860} \, \text{m/s} \approx 242.57 \, \text{m/s}$

STEP 11

Berechne die Wellenlänge $\lambda_{\text{Tsunami}}$ des Tsunamis mit der Formel $\lambda \approx h \cdot 2\pi$ .
$\lambda_{\text{Tsunami}} \approx 6000 \, \text{m} \cdot 2\pi$

STEP 12

Führe die Multiplikation durch, um $\lambda_{\text{Tsunami}}$ zu bestimmen.
$\lambda_{\text{Tsunami}} \approx 6000 \cdot 6.2832 \, \text{m} \approx 37699.2 \, \text{m}$

STEP 13

Berechne die Zeit $t$ , die ein Tsunami benötigt, um von Japan nach San Francisco zu gelangen, mit der Formel $t = \frac{\text{Entfernung}}{c_{\text{Tsunami}}}$ .
$t = \frac{8000 \, \text{km}}{242.57 \, \text{m/s}}$

STEP 14

Konvertiere die Entfernung in Meter und berechne die Zeit $t$ .
$t = \frac{8000 \times 1000 \, \text{m}}{242.57 \, \text{m/s}} \approx 33000 \, \text{s}$

STEP 15

Konvertiere die Zeit in Stunden.
$t \approx \frac{33000 \, \text{s}}{3600 \, \text{s/h}} \approx 9.17 \, \text{h}$

STEP 16

Berechne die neue Ausbreitungsgeschwindigkeit $c_{\text{Tsunami, 500m}}$ eines Tsunamis bei einer Wassertiefe von $500 \, \text{m}$ mit der Formel $c = \sqrt{g \cdot h}$ .
$c_{\text{Tsunami, 500m}} = \sqrt{9.81 \, \text{m/s}^2 \cdot 500 \, \text{m}}$

STEP 17

Führe die Berechnung der Quadratwurzel durch, um $c_{\text{Tsunami, 500m}}$ zu bestimmen.
$c_{\text{Tsunami, 500m}} = \sqrt{4905} \, \text{m/s} \approx 70.03 \, \text{m/s}$

STEP 18

Berechne die neue Wellenlänge $\lambda_{\text{Tsunami, 500m}}$ des Tsunamis mit der Formel $\lambda \approx h \cdot 2\pi$ .
$\lambda_{\text{Tsunami, 500m}} \approx 500 \, \text{m} \cdot 2\pi$

STEP 19

Führe die Multiplikation durch, um $\lambda_{\text{Tsunami, 500m}}$ zu bestimmen.
$\lambda_{\text{Tsunami, 500m}} \approx 500 \cdot 6.2832 \, \text{m} \approx 3141.6 \, \text{m}$
Lösungen:
1. Die Wellenlänge des Kammertons $a^1$ beträgt $0.7727 \, \text{m}$ .
2. Die Wellenlängen für Ultraschall und Infraschall betragen $0.017 \, \text{m}$ bzw. $21.25 \, \text{m}$ .
3. Ein Tsunami im Pazifik mit einer mittleren Meerestiefe von $6000 \, \text{m}$ hat eine Ausbreitungsgeschwindigkeit von $242.57 \, \text{m/s}$ und eine Wellenlänge von $37699.2 \, \text{m}$ . Ein Tsunami benötigt etwa $9.17 \, \text{h}$ , um von Japan nach San Francisco zu gelangen.
4. Wenn die Wassertiefe von $6000 \, \text{m}$ auf $500 \, \text{m}$ sinkt, verringert sich die Ausbreitungsgeschwindigkeit auf $70.03 \, \text{m/s}$ und die Wellenlänge auf $3141.6 \, \text{m}$ .

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Studdy Solution

STEP 1

STEP 2

STEP 3

Berechne die Wellenlänge $\lambda$ des Kammertons $a^1$ mit der Formel $\lambda = \frac{c}{f}$ .
$\lambda = \frac{340 \, \text{m/s}}{440 \, \text{Hz}}$

STEP 4

Führe die Division durch, um $\lambda$ zu bestimmen.
$\lambda = \frac{340}{440} \, \text{m} = 0.7727 \, \text{m}$

STEP 5

Berechne die Wellenlänge $\lambda_{\text{Ultraschall}}$ für Ultraschall mit $f = 20 \, \text{kHz}$ .
$\lambda_{\text{Ultraschall}} = \frac{c}{20 \, \text{kHz}} = \frac{340 \, \text{m/s}}{20000 \, \text{Hz}}$

STEP 6

Führe die Division durch, um $\lambda_{\text{Ultraschall}}$ zu bestimmen.
$\lambda_{\text{Ultraschall}} = \frac{340}{20000} \, \text{m} = 0.017 \, \text{m}$

STEP 7

Berechne die Wellenlänge $\lambda_{\text{Infraschall}}$ für Infraschall mit $f = 16 \, \text{Hz}$ .
$\lambda_{\text{Infraschall}} = \frac{c}{16 \, \text{Hz}} = \frac{340 \, \text{m/s}}{16 \, \text{Hz}}$

STEP 8

Führe die Division durch, um $\lambda_{\text{Infraschall}}$ zu bestimmen.
$\lambda_{\text{Infraschall}} = \frac{340}{16} \, \text{m} = 21.25 \, \text{m}$

STEP 9

Berechne die Ausbreitungsgeschwindigkeit $c_{\text{Tsunami}}$ eines Tsunamis bei einer Wassertiefe von $6000 \, \text{m}$ mit der Formel $c = \sqrt{g \cdot h}$ .
$c_{\text{Tsunami}} = \sqrt{9.81 \, \text{m/s}^2 \cdot 6000 \, \text{m}}$

STEP 10

Führe die Berechnung der Quadratwurzel durch, um $c_{\text{Tsunami}}$ zu bestimmen.
$c_{\text{Tsunami}} = \sqrt{58860} \, \text{m/s} \approx 242.57 \, \text{m/s}$

STEP 11

Berechne die Wellenlänge $\lambda_{\text{Tsunami}}$ des Tsunamis mit der Formel $\lambda \approx h \cdot 2\pi$ .
$\lambda_{\text{Tsunami}} \approx 6000 \, \text{m} \cdot 2\pi$

STEP 12

Führe die Multiplikation durch, um $\lambda_{\text{Tsunami}}$ zu bestimmen.
$\lambda_{\text{Tsunami}} \approx 6000 \cdot 6.2832 \, \text{m} \approx 37699.2 \, \text{m}$

STEP 13

Berechne die Zeit $t$ , die ein Tsunami benötigt, um von Japan nach San Francisco zu gelangen, mit der Formel $t = \frac{\text{Entfernung}}{c_{\text{Tsunami}}}$ .
$t = \frac{8000 \, \text{km}}{242.57 \, \text{m/s}}$

STEP 14

Konvertiere die Entfernung in Meter und berechne die Zeit $t$ .
$t = \frac{8000 \times 1000 \, \text{m}}{242.57 \, \text{m/s}} \approx 33000 \, \text{s}$

STEP 15

Konvertiere die Zeit in Stunden.
$t \approx \frac{33000 \, \text{s}}{3600 \, \text{s/h}} \approx 9.17 \, \text{h}$

STEP 16

Berechne die neue Ausbreitungsgeschwindigkeit $c_{\text{Tsunami, 500m}}$ eines Tsunamis bei einer Wassertiefe von $500 \, \text{m}$ mit der Formel $c = \sqrt{g \cdot h}$ .
$c_{\text{Tsunami, 500m}} = \sqrt{9.81 \, \text{m/s}^2 \cdot 500 \, \text{m}}$

STEP 17

Führe die Berechnung der Quadratwurzel durch, um $c_{\text{Tsunami, 500m}}$ zu bestimmen.
$c_{\text{Tsunami, 500m}} = \sqrt{4905} \, \text{m/s} \approx 70.03 \, \text{m/s}$

STEP 18

Berechne die neue Wellenlänge $\lambda_{\text{Tsunami, 500m}}$ des Tsunamis mit der Formel $\lambda \approx h \cdot 2\pi$ .
$\lambda_{\text{Tsunami, 500m}} \approx 500 \, \text{m} \cdot 2\pi$

STEP 19

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Studdy Solution

STEP 1

STEP 2

STEP 3

Berechne die Wellenlänge λ\lambdaλ des Kammertons a1a^1a1 mit der Formel λ=cf\lambda = \frac{c}{f}λ=fc​.λ=340 m/s440 Hz \lambda = \frac{340 \, \text{m/s}}{440 \, \text{Hz}} λ=440Hz340m/s​

STEP 4

Führe die Division durch, um λ\lambdaλ zu bestimmen.λ=340440 m=0.7727 m \lambda = \frac{340}{440} \, \text{m} = 0.7727 \, \text{m} λ=440340​m=0.7727m

STEP 5

STEP 6

Führe die Division durch, um λUltraschall\lambda_{\text{Ultraschall}}λUltraschall​ zu bestimmen.λUltraschall=34020000 m=0.017 m \lambda_{\text{Ultraschall}} = \frac{340}{20000} \, \text{m} = 0.017 \, \text{m} λUltraschall​=20000340​m=0.017m

STEP 7

STEP 8

Führe die Division durch, um λInfraschall\lambda_{\text{Infraschall}}λInfraschall​ zu bestimmen.λInfraschall=34016 m=21.25 m \lambda_{\text{Infraschall}} = \frac{340}{16} \, \text{m} = 21.25 \, \text{m} λInfraschall​=16340​m=21.25m

STEP 9

STEP 10

Führe die Berechnung der Quadratwurzel durch, um cTsunamic_{\text{Tsunami}}cTsunami​ zu bestimmen.cTsunami=58860 m/s≈242.57 m/s c_{\text{Tsunami}} = \sqrt{58860} \, \text{m/s} \approx 242.57 \, \text{m/s} cTsunami​=58860​m/s≈242.57m/s

STEP 11

Berechne die Wellenlänge λTsunami\lambda_{\text{Tsunami}}λTsunami​ des Tsunamis mit der Formel λ≈h⋅2π\lambda \approx h \cdot 2\piλ≈h⋅2π.λTsunami≈6000 m⋅2π \lambda_{\text{Tsunami}} \approx 6000 \, \text{m} \cdot 2\pi λTsunami​≈6000m⋅2π

STEP 12

Führe die Multiplikation durch, um λTsunami\lambda_{\text{Tsunami}}λTsunami​ zu bestimmen.λTsunami≈6000⋅6.2832 m≈37699.2 m \lambda_{\text{Tsunami}} \approx 6000 \cdot 6.2832 \, \text{m} \approx 37699.2 \, \text{m} λTsunami​≈6000⋅6.2832m≈37699.2m

STEP 13

Berechne die Zeit ttt, die ein Tsunami benötigt, um von Japan nach San Francisco zu gelangen, mit der Formel t=EntfernungcTsunamit = \frac{\text{Entfernung}}{c_{\text{Tsunami}}}t=cTsunami​Entfernung​.t=8000 km242.57 m/s t = \frac{8000 \, \text{km}}{242.57 \, \text{m/s}} t=242.57m/s8000km​

STEP 14

Konvertiere die Entfernung in Meter und berechne die Zeit ttt.t=8000×1000 m242.57 m/s≈33000 s t = \frac{8000 \times 1000 \, \text{m}}{242.57 \, \text{m/s}} \approx 33000 \, \text{s} t=242.57m/s8000×1000m​≈33000s

STEP 15

Konvertiere die Zeit in Stunden.t≈33000 s3600 s/h≈9.17 h t \approx \frac{33000 \, \text{s}}{3600 \, \text{s/h}} \approx 9.17 \, \text{h} t≈3600s/h33000s​≈9.17h

STEP 16

STEP 17

Führe die Berechnung der Quadratwurzel durch, um cTsunami, 500mc_{\text{Tsunami, 500m}}cTsunami, 500m​ zu bestimmen.cTsunami, 500m=4905 m/s≈70.03 m/s c_{\text{Tsunami, 500m}} = \sqrt{4905} \, \text{m/s} \approx 70.03 \, \text{m/s} cTsunami, 500m​=4905​m/s≈70.03m/s

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Berechne die Wellenlänge $\lambda$ des Kammertons $a^1$ mit der Formel $\lambda = \frac{c}{f}$ .
$\lambda = \frac{340 \, \text{m/s}}{440 \, \text{Hz}}$

Führe die Division durch, um $\lambda$ zu bestimmen.
$\lambda = \frac{340}{440} \, \text{m} = 0.7727 \, \text{m}$

Führe die Division durch, um $\lambda_{\text{Ultraschall}}$ zu bestimmen.
$\lambda_{\text{Ultraschall}} = \frac{340}{20000} \, \text{m} = 0.017 \, \text{m}$

Führe die Division durch, um $\lambda_{\text{Infraschall}}$ zu bestimmen.
$\lambda_{\text{Infraschall}} = \frac{340}{16} \, \text{m} = 21.25 \, \text{m}$

Führe die Berechnung der Quadratwurzel durch, um $c_{\text{Tsunami}}$ zu bestimmen.
$c_{\text{Tsunami}} = \sqrt{58860} \, \text{m/s} \approx 242.57 \, \text{m/s}$

Berechne die Wellenlänge $\lambda_{\text{Tsunami}}$ des Tsunamis mit der Formel $\lambda \approx h \cdot 2\pi$ .
$\lambda_{\text{Tsunami}} \approx 6000 \, \text{m} \cdot 2\pi$

Führe die Multiplikation durch, um $\lambda_{\text{Tsunami}}$ zu bestimmen.
$\lambda_{\text{Tsunami}} \approx 6000 \cdot 6.2832 \, \text{m} \approx 37699.2 \, \text{m}$

Berechne die Zeit $t$ , die ein Tsunami benötigt, um von Japan nach San Francisco zu gelangen, mit der Formel $t = \frac{\text{Entfernung}}{c_{\text{Tsunami}}}$ .
$t = \frac{8000 \, \text{km}}{242.57 \, \text{m/s}}$

Konvertiere die Entfernung in Meter und berechne die Zeit $t$ .
$t = \frac{8000 \times 1000 \, \text{m}}{242.57 \, \text{m/s}} \approx 33000 \, \text{s}$

Konvertiere die Zeit in Stunden.
$t \approx \frac{33000 \, \text{s}}{3600 \, \text{s/h}} \approx 9.17 \, \text{h}$

Führe die Berechnung der Quadratwurzel durch, um $c_{\text{Tsunami, 500m}}$ zu bestimmen.
$c_{\text{Tsunami, 500m}} = \sqrt{4905} \, \text{m/s} \approx 70.03 \, \text{m/s}$