Math  /  Algebra

QuestionA+B+C=05A+4B+C+D=010A+6B+D=26A=1\begin{array}{r}A+B+C=0 \\ 5 A+4 B+C+D=0 \\ 10 A+6 B+D=2 \\ 6 A=1\end{array}

Studdy Solution

STEP 1

1. لدينا نظام من المعادلات الخطية مع أربع متغيرات: A A ، B B ، C C ، و D D .
2. الهدف هو حل النظام لإيجاد قيم المتغيرات.
3. يمكن استخدام طريقة التعويض أو الحذف لحل النظام.

STEP 2

1. حل المعادلة الرابعة لإيجاد قيمة A A .
2. استخدام قيمة A A لإيجاد قيم المتغيرات الأخرى.
3. التحقق من الحل عن طريق استبدال القيم في المعادلات الأصلية.

STEP 3

ابدأ بالمعادلة الرابعة:
6A=1 6A = 1
لحل هذه المعادلة، نقسم كلا الجانبين على 6:
A=16 A = \frac{1}{6}

STEP 4

الآن بعد أن وجدنا A=16 A = \frac{1}{6} ، نستخدم هذه القيمة في المعادلة الأولى:
A+B+C=0 A + B + C = 0
استبدل A A :
16+B+C=0 \frac{1}{6} + B + C = 0
نطرح 16\frac{1}{6} من كلا الجانبين:
B+C=16 B + C = -\frac{1}{6}

STEP 5

الآن نستخدم قيمة A A في المعادلة الثانية:
5A+4B+C+D=0 5A + 4B + C + D = 0
استبدل A A :
5×16+4B+C+D=0 5 \times \frac{1}{6} + 4B + C + D = 0
56+4B+C+D=0 \frac{5}{6} + 4B + C + D = 0
نطرح 56\frac{5}{6} من كلا الجانبين:
4B+C+D=56 4B + C + D = -\frac{5}{6}

STEP 6

الآن نستخدم قيمة A A في المعادلة الثالثة:
10A+6B+D=2 10A + 6B + D = 2
استبدل A A :
10×16+6B+D=2 10 \times \frac{1}{6} + 6B + D = 2
106+6B+D=2 \frac{10}{6} + 6B + D = 2
نطرح 106\frac{10}{6} من كلا الجانبين:
6B+D=2106 6B + D = 2 - \frac{10}{6}
6B+D=126106 6B + D = \frac{12}{6} - \frac{10}{6}
6B+D=26 6B + D = \frac{2}{6}
6B+D=13 6B + D = \frac{1}{3}

STEP 7

الآن لدينا ثلاث معادلات جديدة:
1. B+C=16 B + C = -\frac{1}{6}
2. 4B+C+D=56 4B + C + D = -\frac{5}{6}
3. 6B+D=13 6B + D = \frac{1}{3}

نحل هذه المعادلات لإيجاد B B ، C C ، و D D .
من المعادلة الأولى:
C=16B C = -\frac{1}{6} - B
نستبدل C C في المعادلة الثانية:
4B+(16B)+D=56 4B + (-\frac{1}{6} - B) + D = -\frac{5}{6}
3B16+D=56 3B - \frac{1}{6} + D = -\frac{5}{6}
نضيف 16\frac{1}{6} لكلا الجانبين:
3B+D=46 3B + D = -\frac{4}{6}
3B+D=23 3B + D = -\frac{2}{3}

STEP 8

الآن لدينا معادلتين جديدتين:
1. 3B+D=23 3B + D = -\frac{2}{3}
2. 6B+D=13 6B + D = \frac{1}{3}

نطرح المعادلة الأولى من الثانية:
(6B+D)(3B+D)=13(23) (6B + D) - (3B + D) = \frac{1}{3} - (-\frac{2}{3})
3B=13+23 3B = \frac{1}{3} + \frac{2}{3}
3B=1 3B = 1
نقسم كلا الجانبين على 3:
B=13 B = \frac{1}{3}

STEP 9

الآن بعد أن وجدنا B=13 B = \frac{1}{3} ، نستخدم هذه القيمة لإيجاد D D من المعادلة:
3B+D=23 3B + D = -\frac{2}{3}
استبدل B B :
3×13+D=23 3 \times \frac{1}{3} + D = -\frac{2}{3}
1+D=23 1 + D = -\frac{2}{3}
نطرح 1 من كلا الجانبين:
D=231 D = -\frac{2}{3} - 1
D=2333 D = -\frac{2}{3} - \frac{3}{3}
D=53 D = -\frac{5}{3}

STEP 10

الآن بعد أن وجدنا B=13 B = \frac{1}{3} و D=53 D = -\frac{5}{3} ، نستخدم قيمة B B لإيجاد C C من المعادلة:
C=16B C = -\frac{1}{6} - B
استبدل B B :
C=1613 C = -\frac{1}{6} - \frac{1}{3}
C=1626 C = -\frac{1}{6} - \frac{2}{6}
C=36 C = -\frac{3}{6}
C=12 C = -\frac{1}{2}

STEP 11

الآن نتحقق من الحل عن طريق استبدال القيم في المعادلات الأصلية:
1. A+B+C=0 A + B + C = 0 16+1312=0 \frac{1}{6} + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = 0
2. 5A+4B+C+D=0 5A + 4B + C + D = 0 5×16+4×131253=0 5 \times \frac{1}{6} + 4 \times \frac{1}{3} - \frac{1}{2} - \frac{5}{3} = 0
3. 10A+6B+D=2 10A + 6B + D = 2 10×16+6×1353=2 10 \times \frac{1}{6} + 6 \times \frac{1}{3} - \frac{5}{3} = 2
4. 6A=1 6A = 1 6×16=1 6 \times \frac{1}{6} = 1
كل المعادلات صحيحة.
الحل هو:
A=16,B=13,C=12,D=53 A = \frac{1}{6}, \quad B = \frac{1}{3}, \quad C = -\frac{1}{2}, \quad D = -\frac{5}{3}

Was this helpful?

Studdy solves anything!

banner

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

ParentsInfluencer programContactPolicyTerms
TwitterInstagramFacebookTikTokDiscord