Math / Geometry

Question9. Considere o sólido que está no primeiro octante, limitado (acima) pela esfera $x^{2}+y^{2}+z^{2}=9$ , lateralmente pelo cone $z=\sqrt{\left.\beta x^{2}+y^{2}\right)}$ . Em cada item, determine as integrais que permitem calcular o volume desse sólido. a) Em coordenadas cilindricas. b) Em coordenadas esféricas.

Studdy Solution

STEP 1

1. O sólido está no primeiro octante.
2. É limitado pela esfera $x^2 + y^2 + z^2 = 9$ .
3. É limitado lateralmente pelo cone $z = \sqrt{\beta (x^2 + y^2)}$ .

STEP 2

1. Converter as equações para coordenadas cilíndricas.
2. Determinar os limites de integração em coordenadas cilíndricas.
3. Configurar a integral tripla em coordenadas cilíndricas.
4. Converter as equações para coordenadas esféricas.
5. Determinar os limites de integração em coordenadas esféricas.
6. Configurar a integral tripla em coordenadas esféricas.

STEP 3

Converter as equações para coordenadas cilíndricas:
- A equação da esfera: $x^2 + y^2 + z^2 = 9$ se torna $r^2 + z^2 = 9$ . - A equação do cone: $z = \sqrt{\beta (x^2 + y^2)}$ se torna $z = \sqrt{\beta} r$ .

STEP 4

Determinar os limites de integração em coordenadas cilíndricas:
- Para $r$ : $0 \leq r \leq 3$ . - Para $\theta$ : $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ . - Para $z$ : $\sqrt{\beta} r \leq z \leq \sqrt{9 - r^2}$ .

STEP 5

Configurar a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
$V = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{3} \int_{\sqrt{\beta} r}^{\sqrt{9 - r^2}} r \, dz \, dr \, d\theta$

STEP 6

Converter as equações para coordenadas esféricas:
- A equação da esfera: $\rho = 3$ . - A equação do cone: $\phi = \tan^{-1}(\sqrt{\beta})$ .

STEP 7

Determinar os limites de integração em coordenadas esféricas:
- Para $\rho$ : $0 \leq \rho \leq 3$ . - Para $\theta$ : $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ . - Para $\phi$ : $0 \leq \phi \leq \tan^{-1}(\sqrt{\beta})$ .

STEP 8

Configurar a integral tripla em coordenadas esféricas:
$V = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{\tan^{-1}(\sqrt{\beta})} \int_{0}^{3} \rho^2 \sin \phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta$

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Studdy Solution

STEP 1

1. O sólido está no primeiro octante.
2. É limitado pela esfera $x^2 + y^2 + z^2 = 9$ .
3. É limitado lateralmente pelo cone $z = \sqrt{\beta (x^2 + y^2)}$ .

STEP 2

STEP 3

Converter as equações para coordenadas cilíndricas:
- A equação da esfera: $x^2 + y^2 + z^2 = 9$ se torna $r^2 + z^2 = 9$ . - A equação do cone: $z = \sqrt{\beta (x^2 + y^2)}$ se torna $z = \sqrt{\beta} r$ .

STEP 4

Determinar os limites de integração em coordenadas cilíndricas:
- Para $r$ : $0 \leq r \leq 3$ . - Para $\theta$ : $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ . - Para $z$ : $\sqrt{\beta} r \leq z \leq \sqrt{9 - r^2}$ .

STEP 5

Configurar a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
$V = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{3} \int_{\sqrt{\beta} r}^{\sqrt{9 - r^2}} r \, dz \, dr \, d\theta$

STEP 6

Converter as equações para coordenadas esféricas:
- A equação da esfera: $\rho = 3$ . - A equação do cone: $\phi = \tan^{-1}(\sqrt{\beta})$ .

STEP 7

Determinar os limites de integração em coordenadas esféricas:
- Para $\rho$ : $0 \leq \rho \leq 3$ . - Para $\theta$ : $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ . - Para $\phi$ : $0 \leq \phi \leq \tan^{-1}(\sqrt{\beta})$ .

STEP 8

Configurar a integral tripla em coordenadas esféricas:
$V = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{\tan^{-1}(\sqrt{\beta})} \int_{0}^{3} \rho^2 \sin \phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta$

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STEP 1

1. O sólido está no primeiro octante.2. É limitado pela esfera x2+y2+z2=9 x^2 + y^2 + z^2 = 9 x2+y2+z2=9.3. É limitado lateralmente pelo cone z=β(x2+y2) z = \sqrt{\beta (x^2 + y^2)} z=β(x2+y2)​.

STEP 2

STEP 3

Converter as equações para coordenadas cilíndricas:- A equação da esfera: x2+y2+z2=9 x^2 + y^2 + z^2 = 9 x2+y2+z2=9 se torna r2+z2=9 r^2 + z^2 = 9 r2+z2=9. - A equação do cone: z=β(x2+y2) z = \sqrt{\beta (x^2 + y^2)} z=β(x2+y2)​ se torna z=βr z = \sqrt{\beta} r z=β​r.

STEP 4

Determinar os limites de integração em coordenadas cilíndricas:- Para r r r: 0≤r≤3 0 \leq r \leq 3 0≤r≤3. - Para θ \theta θ: 0≤θ≤π2 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} 0≤θ≤2π​. - Para z z z: βr≤z≤9−r2 \sqrt{\beta} r \leq z \leq \sqrt{9 - r^2} β​r≤z≤9−r2​.

STEP 5

Configurar a integral tripla em coordenadas cilíndricas:V=∫0π2∫03∫βr9−r2r dz dr dθ V = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{3} \int_{\sqrt{\beta} r}^{\sqrt{9 - r^2}} r \, dz \, dr \, d\theta V=∫02π​​∫03​∫β​r9−r2​​rdzdrdθ

STEP 6

Converter as equações para coordenadas esféricas:- A equação da esfera: ρ=3 \rho = 3 ρ=3. - A equação do cone: ϕ=tan⁡−1(β) \phi = \tan^{-1}(\sqrt{\beta}) ϕ=tan−1(β​).

STEP 7

STEP 8

Configurar a integral tripla em coordenadas esféricas:V=∫0π2∫0tan⁡−1(β)∫03ρ2sin⁡ϕ dρ dϕ dθ V = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{\tan^{-1}(\sqrt{\beta})} \int_{0}^{3} \rho^2 \sin \phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta V=∫02π​​∫0tan−1(β​)​∫03​ρ2sinϕdρdϕdθ

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1. O sólido está no primeiro octante.
2. É limitado pela esfera $x^2 + y^2 + z^2 = 9$ .
3. É limitado lateralmente pelo cone $z = \sqrt{\beta (x^2 + y^2)}$ .

Converter as equações para coordenadas cilíndricas:
- A equação da esfera: $x^2 + y^2 + z^2 = 9$ se torna $r^2 + z^2 = 9$ . - A equação do cone: $z = \sqrt{\beta (x^2 + y^2)}$ se torna $z = \sqrt{\beta} r$ .

Determinar os limites de integração em coordenadas cilíndricas:
- Para $r$ : $0 \leq r \leq 3$ . - Para $\theta$ : $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ . - Para $z$ : $\sqrt{\beta} r \leq z \leq \sqrt{9 - r^2}$ .

Configurar a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
$V = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{3} \int_{\sqrt{\beta} r}^{\sqrt{9 - r^2}} r \, dz \, dr \, d\theta$

Converter as equações para coordenadas esféricas:
- A equação da esfera: $\rho = 3$ . - A equação do cone: $\phi = \tan^{-1}(\sqrt{\beta})$ .

Configurar a integral tripla em coordenadas esféricas:
$V = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{\tan^{-1}(\sqrt{\beta})} \int_{0}^{3} \rho^2 \sin \phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta$