Math Snap

STEP 1

1. We are dealing with a limit as $n$ approaches infinity.
2. The expression involves square roots of polynomials.
3. We will use algebraic manipulation to simplify the expression.

STEP 2

1. Simplify the expression inside the limit.
2. Rationalize the expression.
3. Evaluate the limit as $n$ approaches infinity.

STEP 3

Zauważmy, że wyrażenie pod pierwiastkami można uprościć przez wyciągnięcie $n^2$ przed nawias:
$$\sqrt{n^4 + n^2} = \sqrt{n^2(n^2 + 1)} = n\sqrt{n^2 + 1}$$ $$\sqrt{n^4 - 5n^2 + n} = \sqrt{n^2(n^2 - 5 + \frac{1}{n})} = n\sqrt{n^2 - 5 + \frac{1}{n}}$$

STEP 4

Aby uprościć różnicę pierwiastków, zastosujemy metodę racjonalizacji. Pomnożymy i podzielimy przez sprzężenie:
$$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^4 + n^2} - \sqrt{n^4 - 5n^2 + n} \right) \cdot \frac{\sqrt{n^4 + n^2} + \sqrt{n^4 - 5n^2 + n}}{\sqrt{n^4 + n^2} + \sqrt{n^4 - 5n^2 + n}}$$

STEP 5

Po zastosowaniu racjonalizacji, licznik staje się:
$$(n^4 + n^2) - (n^4 - 5n^2 + n) = n^2 + 5n^2 - n = 6n^2 + n$$ Mianownik pozostaje:
$$\sqrt{n^4 + n^2} + \sqrt{n^4 - 5n^2 + n}$$

STEP 6

Teraz wyrażenie wygląda następująco:
$$\lim_{n \to \infty} \frac{6n^2 + n}{n\sqrt{n^2 + 1} + n\sqrt{n^2 - 5 + \frac{1}{n}}}$$ Podzielmy licznik i mianownik przez $n^2$:
$$\lim_{n \to \infty} \frac{6 + \frac{1}{n}}{\sqrt{1 + \frac{1}{n^2}} + \sqrt{1 - \frac{5}{n^2} + \frac{1}{n^3}}}$$

Teraz, gdy $n \to \infty$, wyrażenia z $\frac{1}{n}$, $\frac{1}{n^2}$, i $\frac{1}{n^3}$ zanikają:
$$\lim_{n \to \infty} \frac{6 + 0}{\sqrt{1 + 0} + \sqrt{1 - 0 + 0}} = \frac{6}{1 + 1} = \frac{6}{2} = 3$$ Wartość granicy to:
$$\boxed{3}$$