Studdy AI Logo
Math  /  Calculus

Question8. Calculate the value of the following limit: lim⁡n→∞n4+n2−n4−5n2+n\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{n^{4}+n^{2}}-\sqrt{n^{4}-5 n^{2}+n}
ANS:

Studdy Solution

STEP 1

1. We are dealing with a limit as n n approaches infinity.
2. The expression involves square roots of polynomials.
3. We will use algebraic manipulation to simplify the expression.

STEP 2

1. Simplify the expression inside the limit.
2. Rationalize the expression.
3. Evaluate the limit as n n approaches infinity.

STEP 3

Zauważmy, że wyrażenie pod pierwiastkami można uprościć przez wyciągnięcie n2 n^2 przed nawias:
n4+n2=n2(n2+1)=nn2+1 \sqrt{n^4 + n^2} = \sqrt{n^2(n^2 + 1)} = n\sqrt{n^2 + 1}
n4−5n2+n=n2(n2−5+1n)=nn2−5+1n \sqrt{n^4 - 5n^2 + n} = \sqrt{n^2(n^2 - 5 + \frac{1}{n})} = n\sqrt{n^2 - 5 + \frac{1}{n}}

STEP 4

Aby uprościć różnicę pierwiastków, zastosujemy metodę racjonalizacji. Pomnożymy i podzielimy przez sprzężenie:
lim⁡n→∞(n4+n2−n4−5n2+n)⋅n4+n2+n4−5n2+nn4+n2+n4−5n2+n \lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^4 + n^2} - \sqrt{n^4 - 5n^2 + n} \right) \cdot \frac{\sqrt{n^4 + n^2} + \sqrt{n^4 - 5n^2 + n}}{\sqrt{n^4 + n^2} + \sqrt{n^4 - 5n^2 + n}}

STEP 5

Po zastosowaniu racjonalizacji, licznik staje się:
(n4+n2)−(n4−5n2+n)=n2+5n2−n=6n2+n (n^4 + n^2) - (n^4 - 5n^2 + n) = n^2 + 5n^2 - n = 6n^2 + n
Mianownik pozostaje:
n4+n2+n4−5n2+n \sqrt{n^4 + n^2} + \sqrt{n^4 - 5n^2 + n}

STEP 6

Teraz wyrażenie wygląda następująco:
lim⁡n→∞6n2+nnn2+1+nn2−5+1n \lim_{n \to \infty} \frac{6n^2 + n}{n\sqrt{n^2 + 1} + n\sqrt{n^2 - 5 + \frac{1}{n}}}
Podzielmy licznik i mianownik przez n2 n^2 :
lim⁡n→∞6+1n1+1n2+1−5n2+1n3 \lim_{n \to \infty} \frac{6 + \frac{1}{n}}{\sqrt{1 + \frac{1}{n^2}} + \sqrt{1 - \frac{5}{n^2} + \frac{1}{n^3}}}

STEP 7

Teraz, gdy n→∞ n \to \infty , wyrażenia z 1n \frac{1}{n} , 1n2 \frac{1}{n^2} , i 1n3 \frac{1}{n^3} zanikają:
lim⁡n→∞6+01+0+1−0+0=61+1=62=3 \lim_{n \to \infty} \frac{6 + 0}{\sqrt{1 + 0} + \sqrt{1 - 0 + 0}} = \frac{6}{1 + 1} = \frac{6}{2} = 3
Wartość granicy to:
3 \boxed{3}

Was this helpful?

Studdy solves anything!

banner

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

ParentsInfluencer programContactPolicyTerms
TwitterInstagramFacebookTikTokDiscord