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Question7 Eine Zufallsgröße XX ist binomialverteilt mit den Parametern n=15n = 15 und p=0,2p = 0,2.
a) Bestimmen Sie P(X=4)P(X = 4) und P(X4)P(X \le 4).
b) Erklären Sie, wieso man P(X3)P(X \ge 3) mithilfe des Terms 1P(X2)1 - P(X \le 2) berechnen kann.
c) Bestimmen Sie P(1X5)P(1 \le X \le 5).

Studdy Solution

STEP 1

Was wird gefragt? Wir sollen Wahrscheinlichkeiten für eine binomialverteilte Zufallsgröße XX mit gegebenen Parametern berechnen. Vorsicht! Nicht nn und kk verwechseln und die richtigen Werte in die Formel einsetzen!

STEP 2

1. Wahrscheinlichkeit P(X=4)P(X=4) berechnen
2. Wahrscheinlichkeit P(X4)P(X \le 4) berechnen
3. P(X3)P(X \ge 3) mit 1P(X2)1 - P(X \le 2) erklären
4. Wahrscheinlichkeit P(1X5)P(1 \le X \le 5) berechnen

STEP 3

Wir verwenden die Formel für die Binomialverteilung: P(X=k)=(nk)pk(1p)nkP(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.
Hier ist n=15n = \textbf{15}, p=0,2p = \textbf{0,2} und wir suchen P(X=4)P(X=\textbf{4}), also ist k=4k = \textbf{4}.

STEP 4

Einsetzen der Werte ergibt: P(X=4)=(154)(0,2)4(10,2)154=(154)(0,2)4(0,8)11P(X=4) = \binom{15}{4} \cdot (0,2)^4 \cdot (1-0,2)^{15-4} = \binom{15}{4} \cdot (0,2)^4 \cdot (0,8)^{11}.

STEP 5

Der Binomialkoeffizient ist (154)=15!4!(154)!=15!4!11!=151413124321=157131212=1365\binom{15}{4} = \frac{15!}{4! \cdot (15-4)!} = \frac{15!}{4! \cdot 11!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 15 \cdot 7 \cdot 13 \cdot \frac{12}{12} = \textbf{1365}.

STEP 6

P(X=4)=13650,00160,08589934592=0,1876P(X=4) = 1365 \cdot 0,0016 \cdot 0,08589934592 = \textbf{0,1876} (gerundet).

STEP 7

P(X4)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)P(X \le 4) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4).

STEP 8

Mithilfe der Formel aus 2.1.1. oder einer Tabelle für die kumulierte Binomialverteilung erhalten wir P(X4)0,8358P(X \le 4) \approx \textbf{0,8358}.

STEP 9

Das Gegenereignis zu X3X \ge 3 ist X<3X < 3 oder X2X \le 2.
Da die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ergebnisse 1\textbf{1} ist, gilt P(X3)+P(X2)=1P(X \ge 3) + P(X \le 2) = 1.

STEP 10

Daraus folgt: P(X3)=1P(X2)P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2).
Es ist einfacher, P(X2)P(X \le 2) zu berechnen als die unendliche Summe P(X=3)+P(X=4)+...P(X=3) + P(X=4) + ....

STEP 11

P(1X5)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)P(1 \le X \le 5) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5).

STEP 12

Mithilfe der Formel aus 2.1.1. oder einer Tabelle für die kumulierte Binomialverteilung erhalten wir P(1X5)0,83850,1642=0,6743P(1 \le X \le 5) \approx \textbf{0,8385} - 0,1642 = \textbf{0,6743}.

STEP 13

a) P(X=4)0,1876P(X=4) \approx 0,1876, P(X4)0,8358P(X \le 4) \approx 0,8358 b) Weil P(X3)P(X \ge 3) und P(X2)P(X \le 2) komplementäre Ereignisse sind. c) P(1X5)0,6743P(1 \le X \le 5) \approx 0,6743

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