Math / Calculus

Question6.0 Sulla base delle informazioni che puoi dedurre dal grafico, completa le uguaglianze seguenti. a. $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=$ $\qquad$ f. $\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{1}{f(x)}=$ . $\qquad$ b. $\lim _{x \rightarrow-1^{-}} f(x)=$ $\qquad$ g. $\lim _{x \rightarrow-2^{+}} \frac{1}{f(x)}=$ $\qquad$ D] $-\infty$ c. $\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=$ $\qquad$ d. $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=$ $\qquad$ h. $\lim _{x \rightarrow 1^{-}} e^{f(x)}=$ $\qquad$ e. $\lim _{x \rightarrow 0}[f(x)+3]=$ $\qquad$ i. $\lim _{x \rightarrow 1^{+}} e^{f(x)}=$ $\qquad$

Studdy Solution

STEP 1

1. La funzione $f(x)$ ha un asintoto orizzontale a $y = 1$ quando $x$ tende a $-\infty$ .
2. La funzione $f(x)$ ha un asintoto verticale a $x = -1$ .
3. La funzione ha un minimo locale tra $x = -2$ e $x = 1$ .
4. La funzione $f(x)$ diminuisce bruscamente quando $x$ tende a $1$ da sinistra.
5. La funzione $f(x)$ aumenta bruscamente quando $x$ tende a $1$ da destra.
6. La funzione $f(x)$ ha un asintoto orizzontale a $y = 0$ quando $x$ tende a $+\infty$ .

STEP 2

1. Calcolare i limiti per $x \to -\infty$ .
2. Calcolare i limiti per $x \to -1^{-}$ .
3. Calcolare i limiti per $x \to 1^{+}$ .
4. Calcolare i limiti per $x \to +\infty$ .
5. Calcolare i limiti per $x \to 0$ .
6. Calcolare i limiti per $x \to 1^{-}$ .

STEP 3

a. Poiché $f(x)$ tende all'asintoto orizzontale $y = 1$ quando $x \to -\infty$ , abbiamo: $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 1$
f. Poiché $f(x) \to 1$ quando $x \to -\infty$ , $\frac{1}{f(x)}$ tende a: $\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{1} = 1$

STEP 4

b. Poiché c'è un asintoto verticale a $x = -1$ , il limite di $f(x)$ quando $x \to -1^{-}$ è: $\lim_{x \to -1^{-}} f(x) = -\infty$

STEP 5

c. Poiché $f(x)$ aumenta bruscamente quando $x \to 1^{+}$ , il limite è: $\lim_{x \to 1^{+}} f(x) = +\infty$

STEP 6

d. Poiché $f(x)$ tende all'asintoto orizzontale $y = 0$ quando $x \to +\infty$ , abbiamo: $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$

STEP 7

e. Poiché non ci sono informazioni specifiche su $x = 0$ , assumiamo che $f(x)$ sia continua e calcoliamo: $\lim_{x \to 0}[f(x) + 3] = f(0) + 3$

STEP 8

h. Poiché $f(x)$ diminuisce bruscamente quando $x \to 1^{-}$ , il limite di $e^{f(x)}$ è: $\lim_{x \to 1^{-}} e^{f(x)} = e^{-\infty} = 0$
i. Poiché $f(x)$ aumenta bruscamente quando $x \to 1^{+}$ , il limite di $e^{f(x)}$ è: $\lim_{x \to 1^{+}} e^{f(x)} = e^{+\infty} = +\infty$
Le uguaglianze completate sono: a. $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 1$ f. $\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{f(x)} = 1$ b. $\lim_{x \to -1^{-}} f(x) = -\infty$ c. $\lim_{x \to 1^{+}} f(x) = +\infty$ d. $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$ h. $\lim_{x \to 1^{-}} e^{f(x)} = 0$ i. $\lim_{x \to 1^{+}} e^{f(x)} = +\infty$

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STEP 1

STEP 2

1. Calcolare i limiti per $x \to -\infty$ .
2. Calcolare i limiti per $x \to -1^{-}$ .
3. Calcolare i limiti per $x \to 1^{+}$ .
4. Calcolare i limiti per $x \to +\infty$ .
5. Calcolare i limiti per $x \to 0$ .
6. Calcolare i limiti per $x \to 1^{-}$ .

STEP 3

a. Poiché $f(x)$ tende all'asintoto orizzontale $y = 1$ quando $x \to -\infty$ , abbiamo: $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 1$
f. Poiché $f(x) \to 1$ quando $x \to -\infty$ , $\frac{1}{f(x)}$ tende a: $\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{1} = 1$

STEP 4

b. Poiché c'è un asintoto verticale a $x = -1$ , il limite di $f(x)$ quando $x \to -1^{-}$ è: $\lim_{x \to -1^{-}} f(x) = -\infty$

STEP 5

c. Poiché $f(x)$ aumenta bruscamente quando $x \to 1^{+}$ , il limite è: $\lim_{x \to 1^{+}} f(x) = +\infty$

STEP 6

d. Poiché $f(x)$ tende all'asintoto orizzontale $y = 0$ quando $x \to +\infty$ , abbiamo: $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$

STEP 7

e. Poiché non ci sono informazioni specifiche su $x = 0$ , assumiamo che $f(x)$ sia continua e calcoliamo: $\lim_{x \to 0}[f(x) + 3] = f(0) + 3$

STEP 8

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STEP 1

STEP 2

STEP 3

STEP 4

b. Poiché c'è un asintoto verticale a x=−1 x = -1 x=−1, il limite di f(x) f(x) f(x) quando x→−1− x \to -1^{-} x→−1− è: lim⁡x→−1−f(x)=−∞ \lim_{x \to -1^{-}} f(x) = -\infty x→−1−lim​f(x)=−∞

STEP 5

c. Poiché f(x) f(x) f(x) aumenta bruscamente quando x→1+ x \to 1^{+} x→1+, il limite è: lim⁡x→1+f(x)=+∞ \lim_{x \to 1^{+}} f(x) = +\infty x→1+lim​f(x)=+∞

STEP 6

d. Poiché f(x) f(x) f(x) tende all'asintoto orizzontale y=0 y = 0 y=0 quando x→+∞ x \to +\infty x→+∞, abbiamo: lim⁡x→+∞f(x)=0 \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0 x→+∞lim​f(x)=0

STEP 7

e. Poiché non ci sono informazioni specifiche su x=0 x = 0 x=0, assumiamo che f(x) f(x) f(x) sia continua e calcoliamo: lim⁡x→0[f(x)+3]=f(0)+3 \lim_{x \to 0}[f(x) + 3] = f(0) + 3 x→0lim​[f(x)+3]=f(0)+3

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b. Poiché c'è un asintoto verticale a $x = -1$ , il limite di $f(x)$ quando $x \to -1^{-}$ è: $\lim_{x \to -1^{-}} f(x) = -\infty$

c. Poiché $f(x)$ aumenta bruscamente quando $x \to 1^{+}$ , il limite è: $\lim_{x \to 1^{+}} f(x) = +\infty$

d. Poiché $f(x)$ tende all'asintoto orizzontale $y = 0$ quando $x \to +\infty$ , abbiamo: $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$

e. Poiché non ci sono informazioni specifiche su $x = 0$ , assumiamo che $f(x)$ sia continua e calcoliamo: $\lim_{x \to 0}[f(x) + 3] = f(0) + 3$