Math / Algebra

Question6. Find the positive value of $x$ that solves the following equation: $x^{60}=\sum_{k=0}^{30}\binom{30}{k} 20^{30-k}$
ANS:

Studdy Solution

STEP 1

1. Równanie $x^{60} = \sum_{k=0}^{30} \binom{30}{k} 20^{30-k}$ jest równaniem wykładniczym.
2. Prawa strona równania jest rozwinięciem dwumianowym.
3. Szukamy dodatniej wartości $x$ .

STEP 2

1. Rozpoznanie wzoru dwumianowego.
2. Obliczenie wartości sumy.
3. Rozwiązanie równania dla $x$ .

STEP 3

Rozpoznajemy, że prawa strona równania jest rozwinięciem dwumianowym dla $(1 + 20)^{30}$ :
$\sum_{k=0}^{30} \binom{30}{k} 20^{30-k} = (1 + 20)^{30}$

STEP 4

Obliczamy wartość sumy, czyli $(1 + 20)^{30}$ :
$(1 + 20)^{30} = 21^{30}$

STEP 5

Rozwiązujemy równanie $x^{60} = 21^{30}$ dla $x$ . Aby to zrobić, bierzemy pierwiastek 60-tego stopnia z obu stron równania:
$x = (21^{30})^{\frac{1}{60}}$

STEP 6

Uprośćmy wyrażenie:
$x = 21^{\frac{30}{60}}$ $x = 21^{\frac{1}{2}}$ $x = \sqrt{21}$
Wartość $x$ to:
$\boxed{\sqrt{21}}$

Was this helpful?

Question6. Find the positive value of $x$ that solves the following equation: $x^{60}=\sum_{k=0}^{30}\binom{30}{k} 20^{30-k}$
ANS:

Studdy Solution

STEP 1

1. Równanie $x^{60} = \sum_{k=0}^{30} \binom{30}{k} 20^{30-k}$ jest równaniem wykładniczym.
2. Prawa strona równania jest rozwinięciem dwumianowym.
3. Szukamy dodatniej wartości $x$ .

STEP 2

1. Rozpoznanie wzoru dwumianowego.
2. Obliczenie wartości sumy.
3. Rozwiązanie równania dla $x$ .

STEP 3

Rozpoznajemy, że prawa strona równania jest rozwinięciem dwumianowym dla $(1 + 20)^{30}$ :
$\sum_{k=0}^{30} \binom{30}{k} 20^{30-k} = (1 + 20)^{30}$

STEP 4

Obliczamy wartość sumy, czyli $(1 + 20)^{30}$ :
$(1 + 20)^{30} = 21^{30}$

STEP 5

Rozwiązujemy równanie $x^{60} = 21^{30}$ dla $x$ . Aby to zrobić, bierzemy pierwiastek 60-tego stopnia z obu stron równania:
$x = (21^{30})^{\frac{1}{60}}$

STEP 6

Uprośćmy wyrażenie:
$x = 21^{\frac{30}{60}}$ $x = 21^{\frac{1}{2}}$ $x = \sqrt{21}$
Wartość $x$ to:
$\boxed{\sqrt{21}}$

Get Studdy

Studdy solves anything!

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

Question6. Find the positive value of xxx that solves the following equation: x60=∑k=030(30k)2030−kx^{60}=\sum_{k=0}^{30}\binom{30}{k} 20^{30-k}x60=k=0∑30​(k30​)2030−kANS:

Studdy Solution

STEP 1

1. Równanie x60=∑k=030(30k)2030−k x^{60} = \sum_{k=0}^{30} \binom{30}{k} 20^{30-k} x60=∑k=030​(k30​)2030−k jest równaniem wykładniczym.2. Prawa strona równania jest rozwinięciem dwumianowym.3. Szukamy dodatniej wartości x x x.

STEP 2

1. Rozpoznanie wzoru dwumianowego.2. Obliczenie wartości sumy.3. Rozwiązanie równania dla x x x.

STEP 3

Rozpoznajemy, że prawa strona równania jest rozwinięciem dwumianowym dla (1+20)30(1 + 20)^{30}(1+20)30:∑k=030(30k)2030−k=(1+20)30 \sum_{k=0}^{30} \binom{30}{k} 20^{30-k} = (1 + 20)^{30} k=0∑30​(k30​)2030−k=(1+20)30

STEP 4

Obliczamy wartość sumy, czyli (1+20)30(1 + 20)^{30}(1+20)30:(1+20)30=2130 (1 + 20)^{30} = 21^{30} (1+20)30=2130

STEP 5

Rozwiązujemy równanie x60=2130 x^{60} = 21^{30} x60=2130 dla x x x. Aby to zrobić, bierzemy pierwiastek 60-tego stopnia z obu stron równania:x=(2130)160 x = (21^{30})^{\frac{1}{60}} x=(2130)601​

STEP 6

Uprośćmy wyrażenie:x=213060 x = 21^{\frac{30}{60}} x=216030​ x=2112 x = 21^{\frac{1}{2}} x=2121​ x=21 x = \sqrt{21} x=21​ Wartość x x x to:21 \boxed{\sqrt{21}} 21​​

Get Studdy

Studdy solves anything!

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

Question6. Find the positive value of $x$ that solves the following equation: $x^{60}=\sum_{k=0}^{30}\binom{30}{k} 20^{30-k}$
ANS:

1. Równanie $x^{60} = \sum_{k=0}^{30} \binom{30}{k} 20^{30-k}$ jest równaniem wykładniczym.
2. Prawa strona równania jest rozwinięciem dwumianowym.
3. Szukamy dodatniej wartości $x$ .

1. Rozpoznanie wzoru dwumianowego.
2. Obliczenie wartości sumy.
3. Rozwiązanie równania dla $x$ .

Rozpoznajemy, że prawa strona równania jest rozwinięciem dwumianowym dla $(1 + 20)^{30}$ :
$\sum_{k=0}^{30} \binom{30}{k} 20^{30-k} = (1 + 20)^{30}$

Obliczamy wartość sumy, czyli $(1 + 20)^{30}$ :
$(1 + 20)^{30} = 21^{30}$

Rozwiązujemy równanie $x^{60} = 21^{30}$ dla $x$ . Aby to zrobić, bierzemy pierwiastek 60-tego stopnia z obu stron równania:
$x = (21^{30})^{\frac{1}{60}}$

Uprośćmy wyrażenie:
$x = 21^{\frac{30}{60}}$ $x = 21^{\frac{1}{2}}$ $x = \sqrt{21}$
Wartość $x$ to:
$\boxed{\sqrt{21}}$